增长率(下降率)问题漫谈

增长率（下降率）问题先后在中学统编教材的初中数学一元二次方程的应用题、利用对数进行计算、高中数学的指数和对数方程及等比数列等章节中反复出现，在五年制高等职业教育文化基础课教学数学用书的第一册指数与对数、指数函数、对数函数和第二册等比数列中也多次出现，且每一次出现，都在新的知识范围内有所深化。增长率（下降率）问题因其所涉及的知识前后跨度大，知识面广，题型的种类杂，解题的方法多而成为学生学习的一个难点。但又由于其在科研、生产、生活中的广泛应用，增长率（下降率）问题在教学、科研、生产、生活中的重要性是不言而喻的，也因此，增长率（下降率）问题成为历年中考、高考的一个重要考点，在近年的公务员招考中，增长率（下降率）问题更是成为每年必考题。下面将通过不同类型的例题，让学生感悟不同形式题目的不同解法,以提高学生分析问题、解决问题的能力。

增长率（下降率）的基本数学模型为：若平均增长率（下降率）为x，增长（下降）前的量是a，增长（下降）后的量为增长（下降）前的量与增长（下降）量的和（差）。则：

一次增长（下降）后的量为：a（1±x）；

二次增长（下降）后的量为：a（1±x）2；

……

N次后增长（下降）的量为：a（1±x）n。

设N次增长（下降）后的量是b，则它们的数量关系可表示为：

a（1±x）n=b （增长取“+”，下降取“-”）

一、一元二次方程应用中的增长率（下降率）率的问题

在增长率（下降率）率问题中，当出现二次增长（下降）的问题，一般可考虑用一元二次方程知识解题。如何正确分析这类问题中的各种数量关系，是解决此类问题的关键，现举例予以说明。

【例1】 据报道，某省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。

【解析】 由于不知道每年产出的农作物秸杆总量，可引入辅助元，设该省每年产出的农作物秸杆总量为a，每年的增长率为x，则2006年的利用量为30%a，2007年的利用量为30%a+30%ax=30%a（1+x），2008年的利用量为30%a（1+x）+30%a（1+x）x=30%a（1+x）（1+x）=30%a（1+x）2，则有30%a（1+x）2=60%a，即（1+x）2=2，

解得x1≈0.41，x2≈-2.41（不合题意舍去），所以x≈0.41。

答：该省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。

〖点评〗 从上面的例子可以看出，增长率问题变化前后两个量之间的关系为：后来量=原来量×（1+增长率）；当两次增长率相同时，连续变化两次：后来量=原来量×（1+增长率）2。

【例2】 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2。

（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少·（参考数据： ）

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2·请说明理由。

【解析】 （1）如果设4、5月份每月平均降价的百分率为x，由降价后的价格=降价前的价格-降低量，那么可得第一次降价后的价格为14000-14000x=14000（1-x）元/m2，第二次降价后的价格为14000（1-x）-14000（1-x）x=14000（1-x）（1-x）=14000（1-x）2，则有14000（1-x）2=12600，解得x1=0.05，x2=1.95。

因为x=1.95＞1，不合题意，舍去，所以x=0.05=5％。

（2）按照每月5％的降低率，由题意，

到7月份的房价应为12600（1-0.05）2，

计算可得12600（1-0.05）2=11371.5。

答：（1）4、5两月平均每月降价的百分率是5％。

（2）到7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2

〖点评〗 由此可见，降低率问题变化前后两个量之间的倍数关系为：后来量=原来量×（1-降低率）；当两次降低率相同时，连续变化两次：后来量=原来量×（1-降低率）2。

二、指数、对数运算或指数函数、对数函数应用中的增长率（下降率）问题

在增长率（下降率）问题中，当出现三次以上（含三次）增长（下降），一般在解题中需要进行指数、对数运算或运用到指数函数、对数函数的知识。解决此类问题的关键，是正确分析这类问题中的各种数量关系，列出方程或函数式，再利用相关知识进行计算。

【例3】 2008年我国人口总数是13.28亿，如果人口的自然年增长率控制在5‰，问哪一年我国人口总数将超过15亿·

【解析】 设x年后人口总数为15亿，由题意，得：

13.28×（1＋0.005）x=15，

即 （1+0.005）x= 。

两边取对数，得：

xlog1.005=log15-log13.28，

所以x≈24.4。

答：25年后，即2033年我国人口总数将达到15亿。

〖点评〗 这是根据增长率（下降率）的基本模型，列出方程，再运用指数方程的解法，两边取对数，即可求得结果。

【例4】 某林场对其所管理的树林每10年规划一次，或让其继续生长，或砍伐重栽。假设该种树木在其生长的第一、第二、第三和第四个10年中，平均年生长率依次为15%、8%、3%、1%。40年后，树木的生长极其缓慢，可忽略不计。试问：怎样确定砍伐时间，能使木材的生产量最大·

【解析】 设新树苗的木材量为Q，

到第一个10年后，木材量为：M=Q（1+15%）10≈4.046Q，