走出困境:导数零点不可求

破解函数压轴题

让我们先来回顾一下导数的定义： ｆ′（ｘ）＝.

这个简单而美妙的定义，引出了导数的四大基本功能：（1） 根据导函数的正负判断函数的单调性；（2） 根据导函数的零点求函数的极值点；（3） 根据v（t）=s′（t）求复杂运动的瞬时速度；（4）根据ｋ＝ｆ′（ｘ）确定任意曲线上任意一点处的切线斜率．

于是，在面对那些晦涩难懂的函数题时，我们又多了一种高屋建瓴的新思路――求导．

导数是高中学习的重点，这几年的高考函数压轴题，都需要依靠导数的帮助来求解. 但随着学习的深入和问题的日渐复杂，有些函数题已经不能仅仅依靠求导等常规手段来解决了. 那该怎么办呢？从本期开始，我们将和同学们一起面对高考函数压轴题带来的一个个“麻烦”，共同体验化解各种困境的数学智慧．

要求极值点，就要先求导． 但如果导函数很复杂，无法解得零点，那该怎么办呢？让我们用一道例题来说明．

例当x≥0时，ex≥1+x+ax2恒成立，求a的取值范围．

常规思路1：设ｆ（ｘ）=ex-（1+x+ax2）. 要使x≥0时ｆ（ｘ）≥0恒成立，只要证明ｆ（ｘ）min≥0即可．欲求最值，应先求极值；欲求极值，应先求ｆ′（ｘ）=ex-1-2ax=0的根．

麻烦：方程ex-1-2ax=0该如何求解呢？

常规思路2：当x=0时，ex＝1+x+ax2＝1， ex≥1+x+ax2恒成立，故只需考虑x>0时的情况． 此时问题等价于当x>0时，a≤恒成立． 设g（ｘ）=，若能求出g（ｘ）的最小值m，则a的取值范围便是a≤m． 为求得m，应求g′（ｘ）=-=＝0的根．

麻烦：显然，g′（ｘ）=0比常规思路1中的f′（ｘ）=0更难求解．

分析：其实大量的函数综合题都存在类似的难点，我们原打算通过导函数的零点找出原函数的极值点，结果却得到了一个无法求解的方程．怎么办？

同学们都会证明这个不等式：当x≥0时，ex≥1+x．为什么这个不等式恒成立？

如图1所示，从几何角度看，直线y=x+1恰好是函数y=ex的图象上的点P（0，1）处的切线，显然，曲线在切线之上．

从函数变化的角度来看，当ｘ＝0时，不等式左右两边都等于1，“站在相同的起跑线上”. 那么“起跑时谁的速度快”？当ｘ＝0时，左右两边的导数值均等于1，也不分高下. 究竟是什么因素使ｅｘ≥1+x呢？当然是加速度！对不等式左右两边的函数分别求导可得ｅｘ，1，再次求导可得ｅｘ，0，而ｅｘ＞0恒成立.可见从ｘ＝0开始，加速度的不同注定了ｅｘ≥1+x.

我们同样可以把例题中不等式的左右两边分别视为赛道上的两名选手，并进行以下比较：

不等式左边为ｅｘ，右边为1+x+ax2，当x=0时，左右相等，即“起点”相同；

既然“起点”相同，我们就比初速度.求导，不等式左边为ｅｘ，右边为1+2ax，当x=0时，“初速度”也相等；

现在只能比“加速度”了. 再次求导后，不等式左边为ｅｘ，右边为2a． x≥0，由e0≥2a可得a≤．而一旦a≤，随着x的值的增大，ex只会不断增大，而2a则保持不变，所以我们有理由相信，a≤就是问题的答案．

解：（先猜后证） 由题意知当x≥0时，ex≥1+x+ax2恒成立. 对不等式左边有［（ｅｘ）′］′＝ｅｘ，对不等式右边有［（1+x+ax2）′］′＝2ａ，由ｅ0≥2ａ可设ａ的取值范围为a≤．

（1） 假设a≤．令函数ｆ（ｘ）=ex-（1+x+ax2），则ｆ′（ｘ）=ex-（1+2ax），［ｆ′（ｘ）］′＝ｅｘ-2ａ≥ｅ0-2ａ≥0， ｆ′（ｘ）在区间［0，+∞）上单调递增．又ｆ′（0）＝0， 当x≥0时，ｆ′（ｘ）≥0，由此又可知ｆ（ｘ）在区间［0，+∞）上单调递增． 又ｆ（0）＝0， 当x≥0时，ｆ（ｘ）=ex-（1+x+ax2）≥0，即ex≥1+x+ax2．

（2） 假设a＞． 由（1）可得，［ｆ′（ｘ）］′＝ｅｘ-2ａ． 当x∈［0，ｌｎ（2ａ））时，［ｆ′（ｘ）］′＝ｅｘ-2ａ＜0，又ｆ′（ｘ）=ｅｘ-（1+2ａｘ）为连续函数， ｆ′（ｘ）在区间［0，ln（2a））上单调递减． ｆ′（0）＝0， 当x∈（0，ｌｎ（2ａ））时，ｆ′（ｘ）＜0，即ｆ（ｘ）在［0，ｌｎ（2ａ））上单调递减．又ｆ（0）＝0，当x∈（0，ｌｎ（2ａ））时，ｆ（ｘ）＜0，即ex＜1+x+ax2． 题干中要求当x≥0时，ex≥1+x+ax2恒成立，而当ｘ∈（0，ｌｎ（2ａ））时，ex＜1+x+ax2， a＞与题意不符．

综上所述，ａ的取值范围是a≤．

评析：在解答过程中，步骤（1）证明了a≤是?坌ｘ≥0，ex≥1+x+ax2 的充分条件，其思路为： ①由［ｆ′（ｘ）］′≥0推出ｆ′（ｘ）递增；②由ｆ′（0）＝0推出ｆ′（ｘ）≥0；③由ｆ′（ｘ）≥0推出ｆ（ｘ）递增；④由ｆ（0）＝0推出ｆ（ｘ）≥0．

步骤（2）证明了a≤是?坌ｘ≥0，ex≥1+x+ax2的必要条件． 其思路为：证明当a>时，存在一个区间［0，ｌｎ（2ａ）），使ex≥1+x+ax2不成立．

此题是典型的含参不等式恒成立问题，题型与2011年高考数学浙江理科卷的最后一题相同，但在具体形式上有所不同．为什么导数可以处理不等式？因为导数可以判断函数的单调性．当常规方法受阻时，我们只要把握住“导数是被导函数的变化速度”这一点，当速度不明时，再考查加速度，直至发现结论，再回头加以论证――当导数零点不可求时，这就是行之有效的解决方案之一．

【练一练】

若ｘ≥0时，ｌｎ（1+ｘ）≥ｘ-ａｘ2恒成立，求ａ的取值范围.

【参考答案】

简解：设ｆ（ｘ）＝ｌｎ（1+ｘ）-（ｘ-ａｘ2），可得ｆ′（ｘ）＝2ａｘ-，［ｆ′（ｘ）］′＝2ａ-． ｘ≥0， ∈（0，1］，由题意可知当ｘ≥0时，ｆ（ｘ）≥0恒成立. 由2ａ-≥0猜想a≥．

若a≥， ∈（0，1］， ［ｆ′（ｘ）］′＝2ａ-≥0在 ｘ≥0时恒成立，即ｆ′（ｘ）是增函数． 又ｆ′（0）＝0， ｆ′（ｘ）≥0， ｆ（ｘ）是增函数．又ｆ（0）＝0， ｆ（ｘ）≥0，即ｌｎ（1+ｘ）≥ｘ-ａｘ2．

若a

综上所述，a的取值范围是a≥．