一道引起争论的指数函数测试题

所以污染物减少0%需要花大约33h.

这是一道人教数学必修1（A版）第83页中的习题[1]（略有变动）这道12分的题目，学生平均得分约为2分存在问题是：

（1）弄不懂题意，审题不清；

（2）指数和对数运算能力不强；

（3）函数意识差，应用图像描述表达客观世界变化规律的能力薄弱.

考试后的数学成绩分析会上，这个问题引起了老师们的热烈争论主要有两种观点：一是问题解答中运算量比较大，题目类型生僻，教学中几乎不涉及使用计算器的题目，由于高考中以考查概率为背景的应用题为主，这样以函数为背景的应用题就不是教学中的重点，因此这类问题在考试中出现不是十分恰当另一种观点是教材中的习题学生不会解答实属不该教材中的一些习题特别是实际问题，具有丰富的实际背景，是专家学者甚至是数学家们精心研究的结晶，它能够很好地考查学生的函数意识和应用能力，这种考查方式，对于引导重视教材，脱离题海教学，具有良好的导向作用.

针对老师们的讨论，成绩分析会议后，我们进行了深刻的反思.

应用题是教学中的难点，弄清楚题意是教学的一个必要环节在这个问题中，当过滤时间越来越长时，污染物数量P就会越来越小，且趋近零，反映在函数上就是P=P（t）在[0，+∞）上是减函数，且当t+∞时，P（t）0+，这样画图像就容易了.

运算能力是数学的基本能力之一在2011年修订后的《全日制义务教育数学课程标准（修订）》中指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律，正确地进行运算的能力培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题[3]指数和对数运算是高中数学的基本运算，是教学的重点和难点《普通高中数学课程标准（实验）》中指出：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及简化运算的作用[4]一般说来，学生对正整数指数幂、零指数幂及负整数指数幂的理解认识并不困难可是对于分数指数幂（和无理指数幂）是难以理解的，它源于对无理数认识的困难，如2172013=2013217，许多同学甚至还不认为它是一个数，或总想知道它到底是多少事实上，它的近似计算依赖于更陌生的对数，然而对数定义又依赖于指数，这样对于许多即使十分简单的指数式、对数式，学生缺少了直观上的认知，因此学生对于指数和对数的概念的理解和运算的熟练程度是需要比较长的时间的，相对地需要花费不少的时间[4]就目前教材内容而言，指数及其运算约需3课时，对数及其运算约需4课时，就笔者知道的情况而言，我们的教学时间在这里大大的压缩了，指数及其运算用1课时，对数及其运算2课时，就很快进入了指数函数和对数函数的教学，而压缩出的时间进行题型教学，这对今后的学习埋下了隐患，以致于许多高三学生遇到指数和对数运算就犯糊涂因此，在数学教学过程中，我们要在概念和运算上舍得多花费一些时间，进度慢一些，让学生多一些直观认识和感悟，少一些急功近利的做法.

《普通高中数学课程标准（实验）》中指出：通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型课标中对此还给出了如下案例：

家用电器（如冰箱、空调等）使用的氟化物的释放破坏了大气上空的臭氧层臭氧含量Q是指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e-0002t，其中Q0是臭氧的初始量.

（1）随时间的增加，臭氧的含量增加还是减少？

（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

这样的例子，教材中还有很多如人教数学必修1（A版）中，第7页或第103页中的人口增长模型，第48页或第74页中的GDP增长模型，第83页或第110页中的牛顿建立的物质冷却模型，第78页中的计算机病毒感染传播模型，第107页中的大气压强与海拔高度变化的模型，以及第112页中的放射性元素的原子数随时间的变化规律模型等由此可见，指数函数的应用多么广泛.

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M]人民教育出版社，2007年1月第2版.[Z）]

[2]中华人民共和国教育部制订义务教育数学课程标准（修订）[M]北京：北京师范大学，2011年.[Z）]

[3]中华人民共和国教育部制订普通高中数学课程标准（实验）[M]人民教育出版社，2003年4月.[Z）]

[4]赵思林“对数”定义难学的心理分析[J]数学教育学报，2021，（12）.[Z）]

[5][美]R柯朗，罗宾著，左平，张饴慈译《数学是什么》[M]科学出版社，198年1月：94-99.[Z）]