展现真实思维过程,让学生在体验与反思中学会解题

华罗庚先生曾讲过：“不要只给学生看做好了的饭，更要让学生看做饭的过程，数学教学要设法使数学知识‘活’起来，”也就是说数学的教学不是表象性地堆砌知识积木的过程，而是实质性地用一系列的思维活动把知识贯穿起来、使学生真正领会到数学知识的形成和深化发展的动态过程。

在教学过程中只重视结果性知识的教学，满足于结论的验证(或证明)，注重的是“最终”产物，忽视了知识的发现和探究过程，一定程度上造成了一些教师数学教学效率的低下。

1　问题的提出

在当前的校本教研中，老师们经常会探讨教学中的一些实际问题，时间久了，听到老师们经常抱怨的一句话是：“唉，这些题不知道在课堂上讲了多少回，结果他们还是做错，这些学生真是太笨了，”言下之意，教师的教是没问题的，只是学生的学出了问题，例如，在初三的复习过程中，教师往往会一遍遍、一道道地讲题，学生都说听懂了，可就是不会做，那么问题的根源究竟出在哪里呢?是否真的只是学生的学出了问题?其实，在实际的解题课堂中，学生传统的学习方式是一种维持性学习，即以模仿教师介绍的解决问题的经验为主，再在相应的练习加以巩固，可问题是，教师介绍的解题经验是否都是那么轻易地手到擒来呢?学生是否都能照搬教师的方法呢?其实未必!因为教师其实也会遇到一时解决不了的难题，只是通过查资料、找人探讨等途径，总能在给学生讲解前准备好解决方案，而真正在给学生讲解时却省略了中间也许是历经坎坷的求解过程，然而，教师的这种跳过过程、直接给出结果的解题教学是否就是学生最想要的呢?笔者喜欢与学生在课间作短暂交流，一次，班里一名成绩中上的学生怯生生地向我提及他和同伴的一个困惑：“老师，您是否也有解题碰壁的情形?”答案自然是肯定的，接着他又问道：“我们就想知道您在碰壁后是怎么处理的，可以吗?”原来，在学生面前，我们教师似乎从不曾经历过解题上的挫折!即使有一些在他们看来是绞尽脑汁也解不出来的难题，一到教师的讲台，教师总能解得行云流水，有时甚至还能给出若干种巧妙的方法，学生在佩服的五体投地的同时，只有可盼而不可及的遗憾!看来，他们最想知道的不一定只是那个问题的正确答案，而是教师在寻求答案的过程中所经历的真实的思维过程!

斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的结果――数学知识的教学”，因此，教师需要精心组织教学内容，站在学生的立场和角度来展现思维的过程，使数学知识由静返动，要让学生产生亲历原始思维的过程，使学生获得发现的快乐，从而产生浓厚的学习兴趣和求知的欲望，还要使学生意识到在知识的发生过程中，所反映出来的重要数学思想与方法，学生在这样的“导学”精神指导下的学习过程就是在已有认知的基础上，运用科学的方法，探求未知的领域，从而得出新的结论的过程，从某种角度来看，教学方法或隐或现地成为教师暴露思维过程的中间媒介，可以认为，暴露思维过程是对一切先进教学方法的高度概括，是所有优秀教法的起点和归宿，尝试教学法、发现教学法、开放性教学法，无不在训练和培养学生思维方面收到特殊的教育效果，其中最根本的一条就是这些教法都为充分暴露思维过程创造有利条件。

2　解题教学中展现思维过程的相关理论及实践

“数学并不是从课本中已完成的定理出发，而是始于丰富而变化的环境，在得到初步结果之前，有一个发现、创造、犯错误、丢弃和承认的阶段，”的确，数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，生产和生活中离不开数学，它炼就了思维，让人聪慧，有效的数学学习活动不应该就是枯燥乏味的认识数和图形，而是生动活泼的、现实的、有意义的思维和技能的形成过程，它应重在帮助学生理解数学知识的本质，丰富解题经验，提高思维品质，而不是简单机械的模仿和记忆，有效的课堂教学理论认为，真正的课堂教学既要传授知识，也要生成学生的创造能力和主体精神，而要实现这一目标，首先必须培养学生一定的思维能力。

在解题教学中，一些教师采用“总结规律式”的方法进行教学，这样的教学策略虽然提高了学生的解题模仿能力，却让学生错过了数学解题学习中最精彩的部分――基于问题结构分析的解决问题的计划决策过程，因为学生仅成为一个真正意义上的“解题机器”，学生的思维过程体验根本未曾被触及，即学生丧失了其应有的创造性、主体性地位，而学生的创造性、主体性地位的缺失正是课堂教学有效性缺失的重要体现，因此，实施创造性和主体性教学策略对提高课堂教学的有效性具有重要意义，而有助于学生开展自主创新学习的教学策略有很多，在解题教学中展现思维过程就是其中的一种。

在解题教学中展现思维过程，就是指教师在课堂上向学生展示自己探讨疑难问题或尚未定论问题的方式、技法，让他们目睹教师创造性思维、灵活性思维和想象活动的真实过程；有时，还可请部分学生向其余学生展现其思维过程，为生生交流、师生交流搭建平台，其基本做法是：解题者边讲解边思考边板演，错了就改，改了再写；说不下去时就改变思路，重新思考重新讲解；必要时，让所有学生一起参与对问题的思考、讲解过程，这样，可让学生既看到教师的创造过程，了解教师是如何思考问题的，以及组合各类知识并创造性地得出结论的方式和技巧，从中受到启示，又亲自参与了思考、解决问题的创造过程。

基于前面提及的笔者与学生的那番谈话及上述思考，笔者在自己的数学解题课上进行了一些教改尝试，下面就是笔者进行尝试的一个教学片段：

上课的前一天，笔者曾发给学生一张关于《空间图形、投影与三视图》的练习卷作为作业，准备于第二天上课时进行练习反馈与交流，而我在做练习卷的过程中，发现有道题目与学生曾经做过的一道练习题有点类似，但条件略有变动，隐含性增强，灵活性增大，自己在解题的过程中也并非一帆风顺，估计学生在解题过程中可能也会卡住，突然想起上次学生的请求，笔者马上着手将自己对该题的整个思维过程进行了回顾，从刚看题时的第一感受到仔细审题，再到解题过程中的反复，一一梳理了一遍，上课时，笔者照惯例先分块报答案，学生再分块提出需集体进行探讨的题目(此前，班里的大部分学生会在独立完成的基础上进行相互的反馈与交流)，结果他们果然提出了以下问题(他们提出问题后，笔者改变了以往直接给出解题思路的教学策略，而是进行了如下的处理：

问题：如图1，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡上，已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高为　(　)

A.24m　B.22m　C.20m　D.18m

师：答案对的同学请举手!

(有四名学生举手了，但似乎底气有点不足)

师：学生1，请说说你是怎么答对的?

学生1：我当时想用相似三角形的有关知识来做，但发现解决不了，于是就蒙了一个，结果就对了，(其余学生轻笑)

师：与她一样有着好运气的请举手!(其余三名学生举起了手)

师：看来这道题是挺麻烦的了，我们一起来研究研究，看看它是否真那么难解决?我刚看到这道题目时，首先觉得这图形有些繁琐，就在盘算能否删掉一些无关的甚至是干扰的线段呢?

生：铁塔上的斜拉线段可以删掉一些

师：太巧了!我当时也是这么处理的，于是又在草稿上画了这样的图(如图2)，然后把题中的已知条件尽量搬到图形上，其中小明的位置是点E，表示他身高的线段应该垂直于斜坡面还是平面呢?(因为在课前与学生的个别交流中已经发现有学生在这个问题上发生了错误)

生：应该垂直于地面

师：如果垂直于斜坡，结合实际情况想想，又会如何呢?

生笑答：小明会摔倒!

(画好图形后)

师：我们是否曾经接触过这类问题?回忆一下当时是如何处理的?(略作停顿后)题中的太阳光是平行线，结合已知的其余条件，我当时也像学生1那样马上联想到了相似三角形，但是在找相似三角形的时候，发现从图中现有的三角形中很难找，于是就想着是否得通过添加辅助线构造相似三角形，可问题是怎么添呢?构造相似三角形的原形选谁呢?我仔细回忆，联想起这类题中的相似三角形通常都与原像及其影子相关，于是我接着又仔细观察了以小明和小华及光线和影子所构建的三角形的形状，它们显然不相似，但若延长CD交AE于点Ⅳ，再过点E作CD的平行线与太阳光线相交于Z，则图中的相似三角形不就有好几对了吗?问题是否就可解决了呢?

(突然)生2、3大呼：我知道答案了!

师：你们什么时候得出答案的?

生2：就在你说要构造相似三角形以后，我就有了思路了，原先我怎么就没想到呢?

师：那就请你整理一下，给同学们继续解说吧!(其余学生鼓掌)

生2：如上图所示，则图中的相似三角形就有很多对了，找出其中与所求对象相关的相似三角形，再把已知条件用上就可以了!

(这时，大部分学生都急着开始动手解题了，过了三分钟左右，他们都笑着宣告，题目解决了!)

师：请你们小结一下，老师做这道题所经历的思维过程，对你有什么启发?你认为辅助线还可以怎么添加?

生4：我觉得应该仔细审题，要善于从已知条件中提取有用信息，并进行整理，便于寻找思路!

生5：我觉得对平时做过的题目应该进行及时总结，这样在考试时就可以联想起来，新难题也许就能转换为旧问题了!

生6：我觉得如果已知条件不够时，可以大胆地添加辅助线作尝试，像老师那样，也许就能找到思路了!

生7：我觉得老师解题的时候也会有碰壁的时候，只是您处理的灵活些，一种思路不行就换一种试试，不像我以前老在“在一棵树上吊死”，要是当初我也这样去尝试，也许老早就解决了!

生8：我倒觉得老师解决这道题的关键是将分析时的目标锁定在寻找相似三角形上，后面添加辅助线也是为了相似三角形，我以后也不能轻易打退堂鼓了，认定了的目标不能轻言放弃!

生3(突然欢呼)：辅助线应该还可以这样添：过点E作CD的平行线，交AB的延长线于点P，我试过了，也可以的!

此后的课堂中，学生的思维非常活跃，课后，他们要求我今后的解题教学课最好都能这么讲，因为他们听着觉得更自然，更有感触。

3　基于教学实践的几点思考

数学教学的过程就是对学生进行思维训练的过程，数学教学活动就是学生的思维活动，数学教学的成功就是学生思维品质的形成和思维能力的提高，在解题教学中展现思维过程的教学实践中，需注意以下几点：

(1)在解题教学中展现思维过程绝不是让教师在课堂上作毫无准备的表演，教师必须先对将要进行探讨的内容作认真的准备，把准备过程中的思维过程如实地记录下来，在教学中要把有准备的思路与即兴发挥结合起来，要尽量让数学思维展现得真实、自然、生动。

(2)对所探讨的内容不能完全超出学生的接受水平，以免学生因为听不懂教师的探讨过程而游离于课堂之外，那样的教学，即便教师有再多的思维展现也是无效的。

(3)在引导学生进行自主创新教学的过程中，教师要不断引发出自己的思维火花和瞬时灵感，把学生引向所探讨问题的真实情境中去。

(4)教师在展现自己的思维过程的同时，一定也要充分展现学生的思维过程，因为无论怎样展现专家或教师的思维过程，最终也替代不了学生自己的思维过程，只有让学生亲自经历探索的曲折情节，使思维带有悬念色彩，才能增添学生学习的情趣，从而成为“有意义的学习与保持”。

(5)在解题课的教学中一定要把解(证)题思路的发现过程作为重要的教学环节，不仅要学生知道该怎样做，更要让学生明白：为什么要这样做?是什么促使你这样做、这样想的?等等。

(6)在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式，要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。

因此，在教学中需要不断增强课堂活动的开放程度，带领学生积极主动地参与教学活动的全过程，抓住思维的启动、过程和诱因，创设广阔的思维空间和智力背景，提供学生观察、操作、表达、思考、交流、表现等机会，养成良好的联想、猜想、反思等习惯，使课堂成为学生探究和相互交流的阵地，让他们在开放的思维活动中获取知识，并藉以训练和发展相应的数学能力，进而提高数学教学效率。