几个抽象函数的简单分析

摘 要：抽象函数是数学中一个很重要的概念，所谓抽象函数是指没有具体的解析式，一般以y=f（x）来表示的函数，这类函数通常将函数的五大性质与对称性融合考查，对学生观察、分析能力有比较高的要求，要求学生有更强的思维和想象能力，能够顺利地将问题从特殊转化为一般。

关键词：抽象；奇偶性；定义域；周期

解决抽象问题，一般要求学生有比较扎实的基础知识，相对完善的知识网络，对知识的综合应用能力较强。所以历年来，抽象函数相关问题都是比较热门的考点。下面通过几个例题，谈谈抽象函数的常见问题和解法。

一、抽象函数定义域

例1.已知y=f（x+1）定义域为（-2，2），求函数y=f（x）+f（x+1）的定义域。

解析：我们知道定义域指的是式子中x的范围，而最外层括号对应的范围应该是一致的，所以，我们得到如下算法，由-2

点评：（1）已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域即是g（x）在x∈[a，b]上的值域；（2）f[g（x）]与f[φ（x）]中g（x），φ（x）的值域相同。

二、抽象函数的奇偶性

例2.判断f（x）的奇偶性：

（1）已知f（x+y）=f（x）+f（y），（2）已知f（xy）=f（x）f（y）

解析：（1）令y=-x，则上式可化为f（0）=f（x）+f（-x），令x=y=0，可得f（0）=2f（0），所以得到f（0）=0，由此可以得到f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数。

（2）令y=-1，则上式可化为f（-x）=f（x）+f（-1），令x=y=-1，可得f（1）=2f（-1），令x=y=1，可得f（1）=2f（1），所以f（1）=0，由此可以得到f（-1）=0，所以f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数。

点评：已知抽象函数关系式，判断函数的奇偶性，关键是判断f（x）与f（-x）的关系，所以应通过赋值让关系式中只含有f（x），f（-x），其他的均应该是常数。

三、抽象函数的周期性

例3.已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=（ ）

A.0 B.-4 C.-8 D.-16

解析：因为y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，也即y=f（x）是奇函数。又对于f（x+6）+f（x）=2f（3），令x=-3，则f（3）=f（-3），又因-f（3）=f（-3），所以f（3）=f（-3）=0，所以f（x+6）+f（x）=0，所以T=12，所以f（2012）=f（-4）=-f（4）=-4

点评：关于抽象函数周期性的几个性质：

（1）若f（x）=-f（x+a）或f（x）=■或f（x）=-■，则f（x）周期为2a。

（2）若f（x）存在对称轴x=a和x=b或者存在对称中心（a，0），（b，0），则f（x）的周期为2a-b；若f（x）存在对称轴x=a和对称中心（b，0），则f（x）的周期为4a-b。

综上所述，我们可以发现，抽象函数主要考查函数性质的综合应用，只要基础扎实，对函数性质的理解到位，其实抽象函数是很简单的。

（作者单位 河南省新安县第二高级中学）