切比雪夫多项式用于GPS高程转换的精度分析

[摘要]本文探讨切比雪夫多项式及基于EGM2008模型的移去-恢复法在GPS高程转换中的应用。利用某一测区GPS/水准数据对本文方法进行验证，并和常用的平面拟合、曲面拟合以及多面函数拟合方法进行比较与分析，计算结果表明：在面状和线状区域里，切比雪夫多项式的拟合结果比较稳定，且GPS高程转换精度较高；基于EGM2008模型的移去-恢复法能显著提高GPS高程转换精度。

[关键字] 切比雪夫多项式 EGM2008 移去-恢复法 GPS高程转换 精度分析

[中图分类号] P228.4 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2013）-2-130-2

1引言

GPS定位技术由于具有高精度、全天候、高效率等优点，已被广泛应用到各类工程建设测量领域中。目前通过GPS定位技术确定地面点的平面坐标不存在任何技术问题，可很容易达到设计的精度指标。但当利用GPS技术测定地面点的正常高时，需要利用GPS高程转换方法，即通过联测一定数量的GPS/水准点，利用高程拟合的方法获得，其拟合高程的精度和可靠性主要依赖已知GPS/水准点的密度、分布状况、所采用的拟合模型以及测区地形起伏情况等。常用的GPS高程转换方法有平面拟合、曲面拟合以及多面函数拟合等。本文主要探讨利用切比雪夫多项式进行GPS高程转换，并和常用的以上3种拟合方法进行对比分析，同时研究基于EGM2008模型的移去-恢复法在GPS高程转换中的应用。

2原理与方法

2.1 GPS高程拟合的通用数学模型

通过GPS技术可测得某一点的大地高，通过水准测量方法可同时测定该点的正常高，目前点的大地高和正常高都可以达到很高的精度，则GPS/水准点的高程异常ζ为，

ζ=H-h （1）

其中，H为大地高，h为正常高，可以用一组线性无关的基函数 ，αi为拟合系数，t为拟合参数的数目，ψi（x，y）为所选择的基函数，基函数ψi（x，y）可选为垂直平移模型、线性基函数拟合模型和面基函数拟合模型等。如果测区有n个控制点，观测了m（m≥t）个GPS/水准点，则高程异常拟合误差方程式为，

V=AX-L （2）

其中：

利用最小二乘法求得拟合系数X，进而可将已知GPS/水准点信息代入（2）式求的残差向量V，并进行内符合精度评定。当有n个外检核点可进行外符合精度评定。

2.2 基于切比雪夫多项式的GPS高程拟合数学模型

GPS高程拟合的常用模型有平面模型、曲面模型及多面函数模型等，这些拟合函数的详细说明及计算过程可参考相关的文献【1，2，3】 ，本文不在详细介绍，下面将详细介绍切比雪夫多项式拟合方法。

切比雪夫多项式，一般可分为第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式。第一类切比雪夫多项式内插方法可参考相关文献，本文重点讨论第二类切比雪夫多项式内插方法，一维第二类切比雪夫多项式可定义为【4】

其中对于丨τ丨≤1，有：

对于内插区间为 可将该区间转换为[-1，1]，然后再进行内插计算。公式（3）和（4）是一维的切比雪夫多项式，而GPS高程数据属于二维空间，因此内插待求点的高程异常需要二维切比雪夫多项式，由一维切比雪夫多项式（4）可构造二维的切比雪夫多项式，

其中，n，m为切比雪夫多项式的截止阶数，Ui（τi）和Uj（τj）为一维的切比雪夫多项式。

2.3基于 EGM2008模型的移去-恢复法

EGM2008是近来由NGA（US National Geospatial-Intelligence Agency）释放的全球超高阶地球重力场模型，该模型的阶次完全至2159（另外球谐系数的阶扩展至2190，次为2159），相当于模型的空间分辨率约为5′（～9km）。该模型采用了GRACE卫星跟踪数据（ITG-GRACE03S位系数信息以及相应的协方差信息）、卫星测高数据和地面重力数据等，该模型无论在精度还是在分辨率方面均取得了巨大进步【5】。

一般情况下可认为高程异常由中长波和短波两部分组成，其中短波长高程异常可通过拟合方法来推求，即由GPS水准数据获得的真实高程异常，扣除由地球重力场模型（如2160阶次的EGM2008模型）获得的中长波高程异常，对剩余的短波长高程异常进行拟合计算。然后计算待定点的短波长高程异常，待定点总的高程异常为中长波长部分加上通过拟合得到的短波长部分，这就是所谓的移去-恢复法【6】。

移去-恢复法的主要作用是将由重力场模型获得的长波高程异常移除，再利用各种拟合方法推求剩余的高程异常值，最后将移去的中长波高程异常恢复，进而得到最终高程异常值，该方法可提高高程异常的拟合精度，尤其在高程异常变化比较大的测区内，效果更明显。

3结果与分析

3.1 面状区域算例

本文选择华中某GPS控制网数据作为实验数据，该控制网总面积约4万km2，该区域最高海拔2108m，最低海拔16m，平均海拔269.9m【7】。在该区域内共收集了117个GPS/水准点，GPS/水准点位概略图见图1。

为了比较不同阶数的切比雪夫拟合公式的拟合效果，从117个点中均匀地选择出40个点进行计算分析，计算结果见表1。

表1结果显示：在该区域，当选用相同数量的GPS/水准点时，阶数为4×4阶和5×5阶时的高程转换精度基本相当，但阶数为4×4时，整体精度略好一些，其高程转换的外符合精度为9.9cm。为比较4×4切比雪夫多项式拟合、平面拟合、曲面拟合以及多面函数拟合的效果，现选用上面同样的GPS/水准点进行有关计算，计算结果见表2。

由表2可以得知，当用相同的40个GPS/水准点，选择不同的模型进行GPS高程拟合时，选择切比雪夫多项式（4×4）拟合效果是最好的，拟合外符合精度为9.9cm。其它模型的拟合精度均大于10cm。

为了分析基于EGM2008模型的移去-恢复法对GPS高程拟合的影响，同样对上面的4种拟合模型进行比较分析，计算结果见表3。

比较表2和表3结果可以看出，采用相同点拟合时，基于EGM2008 模型的移去-恢复法可以显著地提高模型的拟合精度，其中，平面模型、曲面模型、多面函数和切比雪夫多项式（4×4）的精度提高量分别约为：28%、27%、40%和23%。由于结合EGM2008模型可显著提高拟合效果，因此下面所有算例中都将采用基于EGM2008 模型的移去-恢复法。尤其是用切比雪夫多项式模型，其最佳阶数（4×4），拟合精度可以达到7.6cm。

3.2 线状区域算例

为了进一步分析各拟合模型在线状区域的拟合效果，分别从上面的面状区域中抽取4组不同方向的线状区域，各线路的点位概略图见图2，其中线路④的长度最长。

其中线路①②③④各有GPS/水准点的个数为：15、18、12和19，线路①长约190km，点距约为13km；线路②长约200km，点距约为11km；线路③长约220km，点距约为20km；线路④长约270km，点距约为15km。

为了对比分析各种模型的高程拟合效果，每条线路都均匀选择8个GPS/水准点作为已知点，分别利用不同的拟合模型进行高程拟合，并利用检核点计算得到外符合精度，计算结果见表4。

表4结果显示：切比雪夫多项式模型拟合精度总的来说比较稳定，都在10cm之内，而且当线路较长时，其拟合精度更有其优势。其中东西方向的拟合效果最佳，切比雪夫模型的最好精度可以达到2.6cm。多面函数模型拟合效果也还可以，但当路线较长的时候，不如切比雪夫多项式模型拟合效果好。

4 总结

本文主要研究切比雪夫多项式用于GPS高程转换的原理与方法，同时探讨基于EGM2008模型的移去-恢复法在GPS高程转换中的应用，并进行有关精度分析。利用某一大区域的GPS/水准数据对本文方法进行实验，结果表明：（1）用切比雪夫多项式进行高程拟合时，4×4阶的切比雪夫多项式拟合效果较好。（2）无论面状测区还是线状测区，切比雪夫多项式拟合结果都比较稳定，精度较高。（3）基于EGM2008模型的移去-恢复法能显著提高高程转换精度。

Abstract： The application of chebyshev polynomial and remove-restore method based on EGM 2008 model for GPS altitude transformation is discussed in this paper. Compared and analyzed with several fitting methods， it shows that this application can get more credible result and better calculating precision of GPS altitude transformation in the planar and linear region.

Key Words： chebyshev polynomial； EGM2008； remove-restore method； GPS altitude transformation； precision analysis

参考文献

[1]侯东阳、张书毕 基于平面拟合和BP神经网络组合法的GPS高程转换[J]. 大地测量与地球动力学. 2010（6）：91-94.

[2]王昶.王旭. GPS大地水准面拟合模型研究[J]. 测绘工程.2009（4）： 43-46.

[3]李秀海. 韩冰. 基于多面函数模型的GPS高程拟合精度分析[J]. 测绘与空间地理信息. 2010（1）： 12-13.

[4]张兴福. 魏德宏. 基于似大地水准面格网的插值方法及精度分析[J]. 大地测量与地球动力学. 2011（1）： 113-116.

[5]Pavlis，N.K.，S.A.Holmes，S.C.Kenyon， et al. An Earth Gravitational Model to Degree 2160：EGM2008[R].presented at the 2008 General Assembly of the European Geosciences Union， Vienna， Austria， April 13-14，2008..

[6]张兴福.于红波. 模型拟合法进行GPS高程转换及软件开发[J].广东工业大学学报.2008（3）： 61-65.

[7]李冲. 基于CQG2000的区域似大地水准面精化理论与应用研究[D]. 长安大学硕士学位论文. 2007，34-37.