让眼睛上当受骗的图形

俗话说：耳听为虚，眼见为实。那么先让大家看看几幅图吧，验证一下你的眼睛看到的东西是否为实。

请看下面两个问题。第一个问题，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞!这怎么可能呢?你肯定会提出这样的疑问。难道我们的眼睛出了问题吗?

这个不相信，那再看一个吧：如图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图4，计算可知长方形的面积为8×21=168，比正方形少了一个单位的面积，这下相信了吗?我们的眼睛上当受骗了。难道世上真有“眼见了也有不真实的东西”。除非是魔术了。

我相信，你肯定有一种遇到问题就一定把它弄个一清二楚的精神。那么，这时你就会动手了。花上一些时间，动手按照所说的剪裁方法做一做。

动手做了吧，可是还是没有看出有什么不对呀!

我提示大家，你动手时得注意：一是要精确，二是要做得大点。否则，你是发现不了问题的实质的。

按照我说的方法动手剪过后，再仔细的观察，会发现：拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。这儿的斜率部分读者可能不懂，没关系，简单说吧，就算算两个三角形直角边的比例是不是一样，若是一样，则拼成一个图形后，大三角中的斜边就是一条直线；若比值不一样，则拼成的大三角形的斜边就不是一条直线。经过计算，我们会发现两个三角的比值非常接近，拼成后的三角形的斜边单凭肉眼就不会轻易发现。这就是我们“眼见了也不真实”的原因。

最后再给喜欢思考的读者朋友们提出一个与前两个问题略有不同的第三个问题，如图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，又多出了一个洞!这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢?用前面说的方法计算一下就知道了。据说这个问题最初是由美国魔术师保罗・卡瑞提出的，当时它曾经难倒了许多美国人。

读者朋友们，看了这三组图形后。你有什么启示?我们会想起华罗庚教授的话：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。数学中很多东西不能凭想当然，要经过计算和论证才能得出正确的结论。