滤波与函数结合拟合中的运用

引言

Deforest于19世纪70年代初期提出修匀思想，指出修匀序列应该满足拟合性和光滑性。E.T.Whittaker［1］在1923年将修匀思想中的拟合性度量和光滑性度量做了线性组合，从而形成和发展为Whittaker修匀。Henderson［2，3］在1924年和1925年也对此理论的发展做出了重要的贡献，并将此种理论开始运用到实践中。1967年捷克天文学家J．Vondrak［4，5］将此种方法用在了天文领域，形成了Whittaker-Vondrak平滑法，简称Vondrak滤波，并于1976年得到了改进。黄坤义、周雄［6］于1981年讨论了Whittaker-Vondrak平滑法的本质，获得了调整参数ε、周期p和频率响应A之间关系的理论表达式和不同定义下频率响应的表达式。Vondrak滤波的主要特点是在未知观测数据的变化规律及其拟合函数的情况下，能够对观测数据进行有效的平滑，所以Vondrak滤波在天文、地球物理及不同频率信号的数值滤波中得到了广泛的应用。然而以上的应用大多都是在一维方面上的应用，李志伟、丁晓利(2005)将一维Vondrak滤波拓展为二维Vondrak滤波，且在Insar图像处理中得到了很好的效果［7，8］。本文将对二维的Vondrak滤波用于高程异常拟合或与其他的拟合方法(如多面函数)相结合，进而对得到更加精确的高程异常值的可行性进行重点探讨和分析。

1Vondrak滤波

1.1一维Vondrak滤波对于某一测量序列(x为测量时刻，为对应时刻的测量值，一维Vondrak滤波的基本准则是［4，5］:其中:y珋i是平滑值，pi为对应观测值的权，φ(x)是关于x的平滑曲线，n为观测值总数，F为拟合度。S为光滑度，反应待求平滑曲线总体的平滑程度。光滑度这个指标数的本身是没有含义的，它主要用于比较相同数据不同平滑序列的相对光滑度以及平滑序列与未平滑序列本身的光滑性(0，+∞)是一个给定的无量纲的正数，当λi，得到的是一条逼近观测数据的曲线，当λ2=∞时，对应的曲线是一条十分光滑的抛物线，Vondrak平滑法就是在观测数据的绝对拟合和绝对平滑之间，选择一条折衷的曲线，折衷的程度由参数λ2控制。令ε=为平滑因子，ε越小，曲线的平滑程度越强，反之，平滑程度越弱［9］。Vondrak滤波的平滑函数是对相邻的四组数据(x)用三次拉格朗日多项式来表示，假定观测时刻是等权等间隔的，即:x=1，从而等式(1)用最小二乘准则的形式表示为:

1.2二维Vondrak滤波假定二维的测量数据及其平滑值分别用矩阵Y、分别表示水平光滑度、垂直光滑度，F代表拟合度，参数λ代表绝对拟合与绝对平滑之间的折衷程度。λ21的选取具有主观性，但是一般取变换为mn×1列向量，由一维的数据变换为二维数据，为了简单起见，仍然用Y，Y珔表示原序列以及滤波序列:

2Vondrak滤波在高程异常拟合中的应用

现代建立高程控制基准的主要方法仍然是水准测量，但是对于山区、丘陵等环境恶劣地区，利用传统的水准测量传递高程不但困难，而且费用高所以近年来许多学者考虑采用GPS水准来传递高程。GPS测量得到的是大地高Ht，它是以参考椭球面为基准面得到的高程系统，而我国的高程系统采用的是正常高系统H，大地高Ht、正常高H之间的关系见图1。从图1可以看出，大地高Ht与正常高H之间的转换关系为Ht=H+ξ。所以只要精确求定某待定点的高程异常ξ，就能容易获得该点的大地高。在一定范围内，高程异常不为常数，但其变换缓慢，所以可以根据某些已知点的高程异常，用数学函数拟合出各个未知点的高程异常。但是数学函数模型考虑的光滑性的因素比较大，而Vondrak滤波的思想就是在绝对拟合与绝对平滑之间寻求折衷的效果。所以基于本思想，本文尝试将二维的Vondrak滤波与多面函数拟合相结合应用到高程异常的精算中。本文所采取的基本思路是:第一步:用已知点的高程异常值，建立多面函数模型。如图2所示，假定1～44号点是已知的高程异常点，用1～44号点的高程异常值建立函数模型，求出模型的参数。第二步:以待求点的坐标为基准，对测区进行格网划分，进而可以得到规则的格网点坐标。如图所示，以16号点为例，在测区内作过此点的水平直线、垂直直线，从而使16号点位于交点上，同理于20号点，进而可以得到规则的可以用矩阵表示的4个格网点(包括16、20号点)。依次类推，从而得到包括待求点在内的规则的可以用矩阵表示的高程异常点。第三步:将第二步所得到的格网坐标代入第一步所确定的函数模型中，即可求出规则的可以用式(6)表示高程异常值。第四步:对第三步得到的高程异常值用Vondrak滤波进行平滑处理，就可以得到更加精确的高程异常值。第五步:从上面获得的高程异常值矩阵中挑选出所需的待求点的高程异常值。第六步:将第五步所得的高程异常值代入Ht=H+ξ就可以获得精确的大地高。

3实例分析

本实验采用的58个GPS水准数据均匀分布在东经109.2°～114.2°、北纬24.9°～29.9°区域内，该区地形复杂，起伏不定，以山地和丘陵为主，最大高程890.56m，最小高程是29.34m。由于本测区的地貌特征，所以首先采用多面函数对测区的高程异常进行拟合。本测区有40个待求的高程异常点，本实验选用3、5、8、14、19、29、45、51八个点作为检核点，用剩下的50个点作为拟合点，确定多面函数模型。其中多面函数的核函数定为:Q(x，y，槡β(其中β=2.6)。多面函数拟合得到的高程异常值及经过Vondrak滤波平滑得到的高程异常值的结果见表1。从表1可以看出，通过vondrak滤波平滑的高程异常与多面函数拟合相比，点的精度都有很大的提高，其中最大的提高了88.2%，平均提高了32.9%。其中Vondrak滤波平滑得到的高程异常的中误差与多面函数拟合得到高程异常相比，中误差提高了11.8%。所以Vondrak滤波平滑以后得到的高程异常值更能接近真实值。

4结论

Vondrak滤波的基本思想就是在绝对拟合与绝对平滑之间寻求一种最佳的折衷效果，其是一种新的基于最小二乘的二维的滤波方法。本文将二维的Vondrak滤波与多面函数拟合相结合应用到高程异常的拟合中，从上面的实验结果可以看出，Vondrak滤波与多面函数结合的精度要高于单纯的多面函数拟合法，此滤波方法在高程异常拟合的精算中的应用是可行的，有望在大地水准面的拟合中得到广泛的应用。