利用两平面垂直的条件解题

一、直接利用题设的两平面垂直的条件

例1 如图1，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AD=CD，∠CAD=30°.

（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积.

（Ⅱ）若二面角C-AB-D的大小为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值.

解 （Ⅰ）设E为AC的中点，由于AD=CD，所以DEAC.故由平面ABC平面ACD，可知DE平面ABC，即DE是四面体ABCD的面ABC上的高，且DE =AD·sin 30°=1，AE= AD·cos 30°= .

在RtABC中，由于AC=2AE=2 ，AB=2BC，所以由勾股定理知BC= ，AB= .

故V四面体ABCD = ·SABC·DE= × × × ×1= .

（Ⅱ）设G，H分别为边CD，BD的中点，则EG∥AD，GH∥BC，从而∠EGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.

设F为边AB的中点，则EF∥BC.由ABBC，可知EFAB.由（Ⅰ）可知DE平面ABC，故由三垂线定理知DFAB.所以∠DFE为二面角C-AB-D的平面角.由题设可知∠DFE=60°.

设AD=a，则DE= AD·sin∠CAD= .

在RtDEF中，EF= = = ，从而GH= BC=EF= .

由于RtADF ≌RtBDF，所以BD=AD=a.从而在RtBDE中，EH= BD = .又EG= AD = ，从而在EGH中，EG=EH，于是由余弦定理得cos∠EGH= = = .

故异面直线AD与BC所成角的余弦值为 .

小结 面对两个相互垂直的平面，我们可以联想其性质定理，恰当作出平面的垂线，这样通常能够简化解题过程.

二、活用隐含的两平面垂直的条件

例2 如图2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.

（Ⅰ）当CF =1时，求证：EFA1C.

（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tan θ的最小值.

（Ⅰ）证明：过点E作ENAC于点N，连接EF，NF，AC1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，且EN？奂平面ABC，所以EN平面ACC1A1，NF为EF在平面ACC1A1内的射影.

在RtCNE中，CN=CE·cos 60°=1.由 = = ，得NF∥AC1.又AC1A1C，故NFA1C.

由三垂线定理可知EFA1C.

（Ⅱ）解：tan θ的最小值为 ，此时点F与点C1重合.（解答过程省略）

小结 本题的题设中给定的是正三棱柱，隐含三棱柱的侧面与底面相互垂直的条件，于是得到平面ACC1A1平面ABC.挖掘隐含的两平面垂直的条件对顺利完成本题解答，起到至关重要的作用.

三、巧用待证的两平面垂直的条件

例3 如图3，在圆锥PO中，已知PO= ，O的直径AB=2，C是 的中点，D为AC的中点.

（Ⅰ）证明：平面POD 平面PAC.

（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值.

（Ⅰ）证明：由于PO平面ABC，AC？奂平面ABC，所以POAC.又BCAC，且D为AC的中点，有OD∥BC且OD= BC，可知ODAC.于是有AC平面POD.由于AC？奂平面PAC，所以平面POD 平面PAC.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，平面POD 平面PAC，且平面POD ∩平面PAC=PD.过点O作OEPD于点E，则OE平面PAC，从而OEPA.过点E作EFPA于点F，则PA平面OEF，故PAOF.于是可知∠OFE为二面角B-PA-C的平面角.

在RtODA中，OD=OA·sin 45°= .

在RtPOD中，OE= = .

在RtPOA中，OF= = .

在RtOEF中，sin∠OFE= = .

于是可得cos∠OFE= ，即二面角B-PA-C的余弦值为 .

小结 本题通过巧用待证的两平面垂直的条件，找到二面角B-PA-C的平面角.本题给出第（Ⅰ）问的目的是降低第（Ⅱ）问的难度.

四、妙用探寻到的两平面垂直的条件

例4 如图4，四棱锥S-ABCD中， AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SD平面SAB.

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的正弦值.

（Ⅰ）证明：取AB的中点为E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，从而有DE=BC=2.连接CE，由题设条件可知SEAB，且SE= .又SD=1，故SE2+SD2=DE2.所以SDSE.

由SEAB，DEAB，可知AB平面SDE，所以ABSD.又AB∩SE=E，所以SD平面SAB.

（Ⅱ）解：由AB平面SDE，可知平面ABCD平面SDE，且交线为DE.过点S作SFDE，交DE于点F，则SF平面ABCD，且SF= = .

过点F作FGBC交BC于点G，则AB∥FG，FG=DC=1.

连接SG，由BC平面SFG，知平面SBC平面SFG，且交线为SG.过点F作FHSG，交SG于点H，则FH平面SBC.在RtFGH中，FH= = ，则sin∠FGH= = .

所以，AB与平面SBC所成角的正弦值为 .

小结 第（Ⅱ）问在探寻到两平面间的垂直关系后，运用两平面垂直的性质定理，得到线面垂直和线线垂直的关系，从而使问题得到顺利解答.

（责任编校/冯琪）