化归与转化的数学思想解题举例

摘要：化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科中一个特有的数学思想方法。化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程。因此，每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。本文结合典型例题介绍了常用的一些转化方法以及化归与转化思想解题的应用。

关键词：化归；转化；原则；

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）19-0106

首先，我们来了解一下化归与转化常遵循的几个原则：1. 熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；2. 简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；3. 和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；4. 直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；5. 正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。我们只有很好地熟悉这些原则，才能更加熟悉地运用化归和转化的思想。

一、正与反的转化

有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。

例1.某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 。

分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解。

略解：他四次射击未中1次的概率P1=C40.14=0.14

他至少射击击中目标1次的概率为1-P1=1-0.14=0.9999

例2. 求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分。

分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y=x2存在关于直线y=m（x-3）对称的两点，求m的范围。

五、陌生与熟悉的转化

把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。

例1. 某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润 m与全年总投入N的大小关系是（ ）

A. m>N B. m

分析：每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d>0，每月的投资额组成一个等比数列{bn}，且公比q>1。a1=b1，且a12=b12，比较S12与T12的大小。

若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式bn=a1qn-1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi，则S12>T12，即m>N。

点评：把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。

例2. 两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？

分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”。然而我们对以下两题很熟悉：①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个？②如果两条异面直线称为“一对”的话，任一三棱锥中有多少对异面直线？

略解：故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应。由于①的答案是C4-12=58（个）；②的答案是3对，故本题答案为58×3=174（对）。

点评：直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。

归纳小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有管种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。

作者简介：王春芳，中学一级教师，1997年毕业于天津师范大学。从事教学以来，多次担任班主任工作、教研组长等职，先后多次在河南教育学院发表多篇论文。

（作者单位：河南省卢氏县第一级中学 472200）