心形线:爱亦有数学表达 等

仔细观察图1,有没有发现这些曲线的形状都很像一颗心?它有没有使你生发出一些美丽的联想?事实上,这样的曲线叫做心形线,而它背后的确有一段浪漫感人的故事,是关于著名数学家笛卡尔的。

笛卡尔于1596年出生在法国,欧洲大陆暴发黑死病时他流浪到瑞典的一个小公国(类似于我国古代的诸侯国),结识了公主克里斯汀,并成为了她的数学教师。朝夕相处使他们彼此产生了爱慕之情。国王知道后勃然大怒,下令将笛卡尔处死,因为女儿求情又改将其流放回法国。克里斯汀公主也被父亲软禁了起来。笛卡尔回法国后不久便染上了重病,他一直给心上人写信,但都被国王拦截了。笛卡尔在给克里斯汀寄出第13封信后就不幸离世了,这第13封信上只有短短的一个公式: r=a(1-sinθ)。国王看不懂这封信,就把它交给了一直闷闷不乐的公主。克里斯汀看到后,立即着手把这一方程的图形画了出来――它是一颗心的形状,形如图1中右上角的曲线(方程中的a可以是任意实数,它只是决定“心”的大小)。据称这封享誉世界的另类“情书”至今还保存在笛卡尔纪念馆里。

心形线的极坐标方程即如图1中的各个表达式所示,不同的表达式表示的心形朝向不同。如图2所示,心形线可以看做是一个动圆(圆2)绕着一个与其相切且半径相等的定圆(圆1)滚动一周时,动圆上一个固定的点走过的轨迹。在这个意义上,心形线的确是两圆同心协力描绘的“爱情曲线”。同学们可以到“中天吹水群”(63646210)群空间帖子【吹水群每日放送20100318】中去观看心形线形成过程的动态图片。

不过千万不要以为“心形线”只能用来“谈情说爱”,其实它在现实中有着广泛的应用。我们生活中常见的麦克风大都是单向麦克风,它也叫“心形麦克风”,因为它的灵敏范围是心形的(如图3所示)。对来自声波敏感区的声音,麦克风接收效果良好,而其他区域的则不然,因此就有效阻挡了杂音。

除了麦克风之外,心形线还在手机、发动机等领域中得到了应用,数学的浪漫和实用可以说在这条曲线中得到了完美的诠释。

邻里纠纷出难题

三户人家合住在如下图所示的小院里,他们之间发生了争吵,于是1号房子的主人从自家门口修了一条封闭式的小路通到1号大门。随后,2号房子的主人修了一条路通向2号大门,3号房子的主人修了一条路通向3号大门。这三条路互不重叠或交叉。

你能正确画出这三条路吗?