流速梯度对悬浮颗粒脉动强度的影响

摘要：从简化的颗粒运动方程出发, 分析了在剪切流场中颗粒脉动强度和流体脉动强度之间的关系。结果表明, 由于纵向时均流速的垂线分布梯度的作用, 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。

关键词：流速梯度 Stokes数 脉动强度

1 引言

对于细小悬浮颗粒在恒定、均匀、各向同性紊动流场中的运动, 理论分析和试验量测都表明: 颗粒的脉动强度总是小于相应流体的脉动强度，而且随颗粒Stokes数（Stokes数定义为α=ωe/β,ωe和β分别是紊动场含能漩涡的特征频率和颗粒的反应频率）的增大，颗粒脉动强度将减小；当α足够大时, 颗粒的脉动强度将趋于零[1,2]。

随着LDV(Laser Doppler Velocimetry)和PIV(Particle Image Velocimetry)技术的发展与应用, 对颗粒在剪切流场中的运动有了较多的实测成果,不少文献中发现了颗粒的脉动强度大于相应流体的脉动强度的现象[3～6]。Lijegren 通过理论分析表明, 纵向时均流速的垂线分布梯度的存在,使得颗粒纵向脉动强度有可能超过流体脉动强度，而颗粒垂向脉动强度则不受流速梯度的影响[7］。

本文在Lijegren工作的基础上，考虑了流速梯度引起的Saffman力的影响, 进一步分析了颗粒脉动强度和流体脉动强度之间的关系。结果表明, 由于纵向时均流速垂向分布梯度的作用, 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。

2 颗粒运动方程

考虑圆球状单颗粒在二维恒定均匀剪切流场中的运动。当粒径较小时，阻力可用Stokes公式表示。 只考虑颗粒所受的Stokes阻力和垂向的Saffman力[8], 忽略其它力的作用,则颗粒的运动方程可表示为

(π/6)D3ρp[(dUp)/(dt)]=3πμD(Uf-Up)

(1)

(π/6)D3ρp[(dUp)/(dt)]=3πμD(Vf-Vp)+δ′(Uf-Up)

(2)

式中 D表示颗粒直径，下标f,p分别代表流体和颗粒，U, V分别表示纵向和垂向流速，μ为流体动力粘性系数。, 其中G为纵向时均流的垂线分布梯度:G=d/dy. 为简化分析, 这里取G为常数.

将式(1)、(2)整理得

(dUp/dt)+βUp=βUf

(3)

(dUp/dt)+βUp=βUf +δ(Uf-Up)

(4)

其中β=18μ/(D2ρp),δ=6δ′/(πρpD3)。

按照Lijegren[7]的方法对式(3)作进一步分析。引入

ΔU=Up-

(5)

其中Uf=+uf,uf为脉动速度。由式(5)可得

(6)

沿颗粒的运动轨迹观察, 有

(7)

把式(5)、(6)、(7)代入式(3)得

(dΔU)/(dt)]+βΔU=-GVp+βuf

(8)

不考虑体积力, 对细小颗粒有=0。对式(8)取平均可得

(9)

式(9)为简单的一阶线性微分方程，其渐稳解=0, 即在摆脱初始条件的影响后,有p=f。结合式(5)可知ΔU=up, 同时在二维恒定均匀流中有=0, 则式(8)、(4)可分别写为

[(dup)/(dt)]+βup=-Gvp+βuf

(10)

[(dup)/(dt)]+βup=βvf+δ(uf-up)

(11)

式(10)、(11)即为用脉动流速表示的简化的颗粒运动方程。

3 颗粒脉动强度分析

对普通函数f(t), 只有当收敛时，其Fourier积分才存在。而对随机函数而言, 任一个平稳的随机过程, 虽则当t为无穷大时并不趋于零, 但其具有明确物理意义的Fourier变换仍然是存在的[9]。定义,对式(10)、(11)进行Fourier变换

(12)

(13)

整理可得

(14)

用 (ω)和(ω)来表示(ω)和(ω)，则由式(14)、(15)可得

(14)

(15)

记能谱密度:S(ω)=|F(ω)|2 , 则由式(16)、(17)分别可得

(18)

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

对能谱密度进行积分,可得脉动速度的均方值。从式(18)～(25)可得

(26)

(27)

其中

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

颗粒的纵向脉动强度由3项组成：M1项是颗粒脉动对流体脉动的响应, M2和M3两项则是由于流速梯度引起的附加项, 而且流速梯度越大, 二者的作用越明显。易知 M2>0。在剪切流场中,的符号和流速梯度G的符号相反, 由此从式(22)、(30)知, M3的符号和(β2-δG)的符号相同, 当(β2-δG)>0时, M3>0。

颗粒垂向的脉动强度也由3项组成：N1项是颗粒脉动对流体脉动的响应, N2和N3是流速梯度引起的附加项, 而且流速梯度越大, 二者的作用越明显。易知N2>0, N3<0。

下面定量考察流速梯度G的影响。记α=ωe/β,λ=δG/B2(λ>0), 则有

(β2-ω2-δG) 2+4β2ω2=[ω2+(1+)2β2][ω2+(1-)2β2]

(34)

则Xi, Yi(i=1,2,3)分别可以写为

(35)

(36)

其中

在实际水槽流动中，由于流速梯度沿水深存在变化, 而且床壁附近颗粒与边界及颗粒与颗粒之间的碰撞频繁，因此对明槽悬移质的脉动强度还需要进一步的深入研究。本文的分析中引入了一些简化和假定, 得到的结论也只有在粒径较小时才有合理性,不能简单地类推至粒径较大的颗粒。

参考文献

[1]Pismen, L M. & Nir, A. On the motion of suspended particles in stationary homogeneous turbulence. J. Fluid Mech. ,1978, Vol.84:193-206.

[2]Wells, M.W. The effects of crossing trajectories on the dispersion of particles in turbulent fluid. J. Fluid Mech., 1983, Vol.136: 31-62.

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[4]Steimke, J. L. & Dukler, A. E. Laser Doppler Velocimetry measurements of aerosols in turbulent pipe flow. Int. J. Multiphase Flow, 1983, Vol.9: 751-754.

[5]Rogers, C. B. & Eaton, J.K. Particle transport in a vertical turbulent boundary layer. Int. J. Multiphase Flow, 1990,Vol.16:819-834.

[6]Kaftori, G., Hetsroni, G., & Banerjee, S. Particle behavior in the turbulent boundary layer. II. Velocity and distribution profiles. Phys. Fluids, 1995, Vol.7(5): 1107-1121.

[7]Liljegren, L.M. The effect of a mean flow velocity gradient on the stream-wise velocity variance of particles suspended in a turbulent flow. Int. J. Multiphase Flow, 1993, Vol. 19(3): 471-484.

[8]Saffman, P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow. J. Fluid Mech., 1965, Vol.22:385-400.

[9]王梓坤。概率论基础及其应用。北京：科学出版社会，1979。