方阵的特征值与方阵的根

摘要：通过对方阵特征值与方阵根之间关系的讨论，用方阵的特征值给出方阵存在根的若干条件。

关键词：方阵；特征值；根

一、引言与预备知识

方阵的特征值是矩阵理论中的一个重要的概念，许多矩阵问题都与其有密切的联系，在其他领域也具有广泛的应用. 而方阵的根是方阵幂的反问题，与方阵的特征值是两个不同的概念.文献[1-3]对方阵的根做了初步的探讨，得到了一些结果.本文讨论方阵的特征值与方阵的根两者之间的联系，用方阵的特征值给出了方阵存在根的一些条件，可作为文献[1-3]的补充.在本文中，我们用Pn×n表示数域P上n阶方阵集合，用r（A）表示矩阵A的秩，用C表示复数域，其他记号可参见文献[4].定义1.1[1-3]设A∈Pn×n，若存在B∈Pn×n，使得A=Bm，则称B是A的m次根.定义1.2[4]设A∈Pn×n，λ∈P是A的特征值，则集合Vλ=ζ∈Pn｜Aζ=λζ是Pn的子空间，称为A的属于特征值λ的特征子空间.定义1.3[4]设λ∈C，形式为λ 1 λ?埙 ?埙1 λ的方阵称为含λ的若当块.由若干个若当块组成的准对角矩阵J=J■ J■?埙 J■，称为若当形矩阵，其中Ji=λi 1 λi?埙 ?埙1 λi是含λi的若当块，且λ1，λ2，…，λs中有些可以相等.定理1.1[4]：设A∈Cn×n，则存在可逆阵P，使得P-1AP=J=J■ J■?埙 J■且对角线上元素 λ1，λ2，…，λs是A的全部特征值.在定理1.1中，当dimVλi=λi的重数k时，含有λi的若当块有k个且都是一阶的.

二、方阵存在根的条件

定理2.1[3]：设A∈Cn×n，则当A可对角化时，对任意正整数m，A存在m次根.定理2.2[1]在复数域上，对任意正整数m（m＞1），n（n＞1）阶若当块J=λ 1 λ ?埙 ?埙 1 λ，存在m次根充要条件是λ≠0.推论2.1：n阶若当块0 1 0 ?埙 ?埙 1 0存在m次根充要条件是n=1.定理2.3[3]：若A∈Pn×n存在任意m次根，而D与A相似，则D也存在任意m次根.定理2.4：设A=A1A2?埙 As则当Ai（i=1，2，…，s）存在任意m次根时，A也存在任意m次根.

证明：设 Bi是Ai的m次根，则B■■=Ai（i=1，2，…，s），从而有A=A1A2?埙 As=B■■B■■?埙 B■■=B1B2?埙 Bs，所以A存在m次根.

三、方阵特征值与方阵根存在性的关系

定理3.1：设λ1，λ2，…，λk是方阵A∈Cn×n的全部特征值，则：

1.当k=n，且λ1，λ2，…，λn互不相同时，A存在任意 m次根.

2.当V=Vλ1?茌Vλ2?茌…?茌Vλk时，A存在任意m次根.

3.当■dimVλ1=n时，A存在任意m次根.

4.当dimVλi=λi的重数时，A存在任意m次根.

5.当■r（λ■E-A）=n（k-1）时，A存在任意m次根.

证明：由定理2.1及方阵可对角化条件即可证得本定理.定理3.2 若方阵A∈Cn×n的特征值不为零，则A存在任意m次根.证明：由定理1.1知，存在可逆阵P，使得p-1AP=J=J1J2?埙 Js其中ji=λi 1 λi?埙 ?埙1 λi（i=1，2，…，s）且λ■（i=1，2，…，s）是A的特征值.因为λ■（i=1，2，…，s）不为零，所以由定理2.2知Ji存在任意m次根，从而由定理2.4知J存在任意m次根，再由定理2.3可得A存在任意m次根.

推论3.1：复数域上可逆矩阵A存在任意m次根.定理3.3：设A∈Cn×n，若A有特征值λ=0，则当dimV0等于λ=0的重数k时，A存在任意m次根.证明：存在可逆阵P，使得P-1AP=J=J1J2?埙 Js其中Ji=λi 1 λi?埙 ?埙1 λi（i=1，2，…，s）且λi（i=1，2，…，s）是A的特征值.由定理1.1知，当dimV0等于λ=0的重数k时，J中含λ=0的若当块有k个且都是1阶的，从而这样的若当块存在任意m次根.由定理2.2可知，J中不含λ=0的若当块存在任意m次根.于是由定理3.3可知，J存在任意m次根，最后由定理2.3可知A存在任意m次根.推论3.2：设A∈Cn×n，若A的零特征值是一重的，则A存在任意m次根.证明：存在可逆阵 P，使得P-1AP=J=J1J2?埙 Js其中Ji（i=1，2，…，s）是ik阶若当块，且i1+i2+…is=n.因为A的零特征值是一重的，所以r（J）=n-1，从而r（J）=n-1，因而dimV0=dimX∈C■│AX=0■=n-r（A）=n-（n-1）=1，即dimV0等于零特征值的重数，故A存在任意m次根.

参考文献：

[1]许亚善.方阵任意次方根存在的充要条件[J].数学通报，2000，（9）：39-40.

[2]余世群.n阶方阵的任意m次方根[J].重庆师范学院学报（自然科学版），2003，20（1）：28-29.

[3]林大华.关于方阵P次根的若干结果[J].贵州师范学院学报（自然科学版），2010，26（9）：20-22.

[4]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 [M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

基金项目：闽江学院2011科技启动项目（YKQ1104）

作者简介：林大华（1959-），男，福建福州人，闽江学院数学系副教授，主要从事矩阵论的研究；戴立辉（1963-)，男，江西乐安人，闽江学院数学系教授，主要从事矩阵论的研究。