巧用“假设思想方法”解决数学问题例谈

在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法，可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。

小学数学教学方法案例分析我国义务教育《数学课程标准》（2011年版）将“双基”扩展为“四基”，即基础知识、基本技能、基本数学思想和基本活动经验。由此可见，数学思想方法教学变得越来越重要。从教材上看，数学新教材更加重视数学思想方法的教学，把基本的数学思想方法作为选择和安排教学内容的重要线索。因此，在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法，可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。

在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想方法、转化思想方法、类比思想方法、假设思想方法、分类思想方法等。假设思想方法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。假设思想方法是小学数学中比较常用的方法，实际上也是转化方法的一种，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

一、巧用“假设思想方法”解决数量关系隐蔽的问题

小学数学解题中，有些问题数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手。可以根据问题的具体情况合理假设，由此得出一些关系和结论，产生差异与矛盾，通过分析与思考，找出差异的原因，使复杂问题简单化，数量关系明朗化，从而达到解决问题的目的。

例1.一辆汽车从甲地开往乙地要经过上坡和平地两种等长的路，其中上坡的速度为每小时50千米，平地的速度为每小时60千米，求这辆汽车从甲地开往乙地的平均速度。

这道题学生经常错误的认为，平均速度是（50+60）÷2=55（千米），但是如果知道总路程的话，本题就非常容易理解和解决了。假设甲乙两地的路程为300千米，则上坡段和平路段都为150千米，上坡段用了150÷50=3（小时），平路段用了150÷60=2.5（小时），汽车从甲地到乙地一共用了3+2.5=5.5（小时），因此平均速度为300÷5.5=54611（千米）。

例2.在正方形中画一个最大的圆，圆的面积是正方形面积的（）%。

类似这样的题目，我们可以把正方形的边长假设为一个数，圆的直径和正方形的边长相等，分别求出正方形和圆的面积，再求出它们之间的百分比。

二、巧用“假设思想方法”简化计算过程繁琐的问题

有些问题虽然可以假设一个数来解决，但是往往也会出现计算过程繁琐的现象，学生反而容易在计算上出现错误。因此，在数量之间具有一定的比例关系前提下，可假设其中的一个数量为单位“1”，从而简化计算的繁琐程度。

例3.兴隆山滑雪场的门票是100元一张，平均每天接待500名游客。春节期间举行门票优惠活动，优惠后每天的游客增加了50%，收入增加了20%，优惠后门票的价格是多少？

解决这个问题首先要明确一个基本的数量关系式：游客人数×门票价格=收入。先按照一般的解题思路分析，根据题意要求的是优惠后门票的价格，需要知道优惠后的收入和游客人数。优惠后的收入是500×100×（1+20%）=60000（元）。优惠后的游客人数是500×（1+50%）=750（人）。所以优惠后的门票价格是60000÷750=80（元）。仔细分析题意，不难发现优惠后的人数和收入都是在原来的基础上分别按照一定比例变化，实际上游客人数是500还是1000并不影响计算的结果，因此只需要假设游客人数为单位“1”就行。假设优惠前的游客人数是1，则优惠后的游客人数是1×（1+50%）=1.5，优惠前的收入是100×1，则优惠后的收入是100×1×（1+20%）=120，所以优惠后的门票价格是120÷1.5=80（元）。

除此之外，常见的分数应用题、工程问题等，解题关键是确定“1”的问题，这种“确定”其实就是一种假设。

三、巧用“假设思想方法”化解一般方法不易解决的问题

在小学数学教学中，数学问题千变万化，解题方法也多种多样。有时用一般方法去解答也会感到较为麻烦，如果用假设法去解答，往往会化难为易，受到事半功倍的效果。

“鸡兔同笼”是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

方法1：假设35只都是鸡，那么就应该有2×35=70（只）脚，但实际上有94只脚，比假设的情况多了94-70=24（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出24里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：有兔（94-2×35）÷（4-2）=12（只）

有鸡35-12=23（只）

答：有12只兔，23只鸡。

方法2：我们也可以假设35只都是兔子，那么就应该有4×35=140（只）脚，但实际上有94只脚，比假设的情况少了140-94=46（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2=2（只）。因此只要算出46里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

解：有鸡（4×35-94）÷（4-2）=23（只）

有兔35-23=12（只）

答：有235只鸡，12只兔。

由以上方法可以看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡，也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。

当然，这类问题也可以用画图法、列表法和方程来解决，但是用假设法来解答比较简便，而方程也可以理解为假设法的另一种形式，实质上就是把未知条件直接假设成已知条件，再根据题意列出方程。

许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

例如，水彩笔每盒19元，蜡笔每盒11元，水彩笔和蜡笔共买了16盒，共用去280元。两种彩笔各买了多少盒？

我们可以假设有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买彩笔的问题转换成鸡兔同笼的问题了。

假设思想方法在小学数学中的应用比较普遍，但是也要因题目而选择，不能生搬硬套。由以上几个例子可以看出合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养学生灵活的解题技能，发展学生的逻辑推理能力，从而达到开发学生智力、培养学生能力之目的。