几何命题的直接证法解析

平面几何是初中数学的一门重要课程，它的基础知识不仅在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，也是学生后继学习数学和其他学科的基础.但是对于不少初中生来说，平面几何也是一门难度较大的学科，要系统地掌握平面几何命题的证明方法并非易事.

我们知道，要证明某个命题成立，可以从原命题的条件出发，根据教材中给定的定义、公理、定理、法则，通过一系列的推理，一直推到所要证明的结论为止.几何学中多数的命题都是采用这种方法证明的，这种证明命题的方法就是直接证法.我们在思考如何证明某个命题的过程中，依据思考问题的思维顺逆的不同，又将直接证法分为综合法和分析法.

1. 综合法

综合法是一种“执因导果”的方法，它的依据是题目中的已知条件和几何学中相关的定义和定理.因此，要想正确地证明出一个几何命题，首先必须仔细地审清题意，充分利用题中的已知条件，同时，必须要掌握几何学中的公理、定义、定理和法则的应用.

综合法是由已知条件逐步有序地推导出所要证明的结论，逻辑清晰.例如要证明命题“若A则B”，则可以由条件A出发，先推导出结论C，再由结论C推导出结论D……知道推导出结论B为止.其过程可简单地表示为：条件A结论C结论D……结论B.

例1 ：已知，如图1所示，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF，求证：DE=DF.

分析：由题设AC=BC知，是等腰直角三角形，所以有∠A=∠B=45°.得结论.由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CD=AD=BD，所以有∠DCF=45°.最后，由已知AE=CF及上面的两个结论，只需连结CD，得到结论ΔDCF≌ΔDAE，进而就能推断出待证结论DE=DF.

2. 分析法

分析法是一种“由果寻因”的方法，目的性明确.与综合法相同，它的依据是题目中的已知条件和几何学中相关的定义和定理.因此，掌握几何学中的公理、定义、定理和基本法则是掌握分析法的前提.

分析法由结论开始逐步推理，逻辑性强.例如要证明命题“若A则B”，则可以由命题的结论B出发，分析结论B成立的充分条件C，再寻找条件C成立的充分条件D……追根寻源，逐步递推，直至归结到题设条件A成立为止，以此来断定命题“若A则B”是正确的.其过程可简单地表示为：结论B条件C条件D……条件A.

例2：已知，如图2所示，AB=CD，AD=BC，AE=CF，求证：∠E=∠F.

分析：要证明结论∠E=∠F成立，只需证明，所以由三角形全等的条件，可先证明∠B=∠D和BE=DF.又因为已知AE=CF，AB=CD，所以显然有BE=DF成立，故只需证明∠B=∠D.而由已知AB=CD，AD=BC，只需要连结AC，进而证明ΔABC≌ΔCDA即可.

值得注意的是，产生一个结论的条件不一定是唯一的，这就需要我们在推导过程中密切注视已知条件.总之，我们在使用分析法证明几何命题的过程中，一定要做到，分析有理，推理有据.

3. 综合法与分析法的综合运用

综合法与分析法是两种不同的思维方法，其区别在于思维的顺序是相反的.一般地，在证明比较简单的命题时，综合法比分析法更简洁适用，而对于已知条件比较繁多，问题比较复杂，我们不知要从何入手的时候，通常会采用分析法，将一个问题转化成另一个问题，转换思维，效果自然会更好.

而在实际解决问题的时候，我们通常取长补短，首先运用分析法来寻找待证命题与已知条件的关系，寻找解题方法，然后再运用综合法进行具体证明.其推导过程可以如下简单地表示出来：

例3：已知，如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线，求证：KH∥BC.

分析：要证明KH∥BC，可延长AH交BC于点N，延长AK交BC于点M，只需证明是的中位线即可.然而，要证是的中位线，我们只需证明AH=HN，AK=KM.

事实上，由已知BH平分∠ABC，又BHAH，则有结论BA=BN，AH=HN成立.同理，由CK平分∠ACB，又CKAK，则有结论CA=CM，AK=KM成立.从而，由三角形的中位线定理，可得待证结论KH∥BC.

由此可见，在证明几何命题的时候，只有通过既有综合法又有分析法的思维活动，才能找到有效的解题途径.也就是说，在我们的解题思维中，要随时把综合法与分析法联系起来，不要拘泥于一种方法.

最后，在用直接证法证明平面几何命题的过程中，为了充分利用题目中的已知条件，达到解决问题的目的，我们通常需要添加辅助线.因此，我们还要掌握根据题中已知条件作辅助线的思想和方法，以便更顺利地解决问题.