引入优化因子的GM(1,1)模型及其在旅游客源预测中的应用

摘要:在灰色GM(1,1)预测模型中引入优化因子,通过优化因子的选择使预测结果与原始数据的平均相对误差最小,以提高预测精度。将引入优化因子的GM(1,1)模型应用于中国入境旅游客源的预测并与传统的GM(1,1)模型及文献中的改进方法相比较,结果表明引入优化因子的GM(1,1)模型有更高的预测精度。

关键词:GM(1,1)模型; 预测; 优化因子;旅游客源

中图分类号:F59文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)15-0168-03

灰色系统理论[1]自1982 年诞生以来,在经济、管理和工程技术等众多领域得到广泛应用。灰色GM(1,1)预测模型是灰色系统理论的核心内容之一,其特点是所需的样本较少、计算简单,因而比传统的预测方法更具优越性。但是,传统的GM(1,1)模型在某些情况下也存在预测精度低的缺陷,为此许多学者从不同角度提出了对GM(1,1)模型的改进以提高其预测精度与适用范围。本文在GM(1,1)预测模型中引入优化因子,通过优化因子的选择使预测结果和原始数据的平均相对误差最小,以达到提高预测精度的目的。并将引入优化因子的GM(1,1)模型用于中国入境旅游客源的预测,将其预测结果与传统的GM(1,1)模型及已有文献中的改进的GM(1,1)模型预测结果比较,引入优化因子的GM(1,1)模型具有更高的预测精度。

一、传统的GM(1,1)模型

设非负平稳原始数据序列为:

X(0)=(X(0)1,X(0)2,…,X(0)n)

根据X(1)1=X(0)1,X(1)k=X(0)i(k=2,3,…,n)进行一次累加得到累加数据序列:

X(1 )=(X(1)1,X(1)2,…,X(1)n)

假定X(1 )具有指数变化规律,则白化方程为:

+aX (1)=u(1)

其中a,u为待定参数。传统的GM(1,1)模型采用最小二乘法求得:

au=(BTB)-1BTY (2)

这里:

B=-Z(1)2 1-Z(1)3 1••••••-Z(1)n1, Y=X(0)2X(0)3•••X(0)n,(3)

其中,Z(1 )=(Z(1)2,Z(1)3,…,Z(1)n)称为背景值,一般取紧邻均值,即Z(1)i=0.5(X(1)i-1+X(1)i),i=2,3,…,n。于是微分方程(1)满足以X(1)1=X(0)1为初始条件的解:

(1)k=(X(0)1-)e-a(k-1)+k=1,2,3,…n(4)

即为X(1 )的预测公式,由此可得x(0)的预测公式为:

(0)k=(1)k-(1) k-1k=2,3,4,…n(5)

当k≤n时得到原始数据的模拟值,当k>n时得到预测值。

二、引入优化因子的GM(1,1)模型

从GM(1,1)模型中公式(4)可知,模拟和预测精度取决于参数a和u, 而参数a和u的获得依赖于原始数据和背景值的构造。因此在众多改进GM(1,1)模型的文献中,许多文献从背景值的构造入手以提高模型的预测精度,如文献[2]采用:

[(k+1)X(1) i-1+(k-1)X(1)i]

来获得Z(1)i,其中需用试探法得到最佳的k或利用经验公式;文献[3]和[4]利用插值和求积公式得到计算背景值的新方法。但笔者通过大量数值试验发现,上述文献提出的方法尽管在一定程度上能提高预测的精度,但获得的参数a和u并没有达到最优,某些情况下甚至使预测精度降低,例如文献[2]的方法对非负单调呈指数递减序列的预测及文献[4]对非负单调呈指数递增序列的预测都会降低预测精度。为克服上述缺陷,本文在传统的GM(1,1)模型引入优化因子λ(-1≤λ≤1),将背景值的计算改为:

Z(1)i=0.5[(1-λ)X(1)i-1+(1+λ)X(1)i)],i=2,3,…,n。(6)

为了获得最佳的优化因子λ,使模拟值与原始数据的平均相对误差最小,达到提高预测精度的目的,利用MATLAB编写应用程序来搜索最佳的优化因子λ,具体过程为:

优化因子λ从λ=-1开始,由背景值公式(6)和公式(2)计算出参数a和u,从而得到相应的公式(4)和预测公式(5),利用预测公式(5)计算得到原始数据的模拟值 (0)及平均相对误差err=。接下来取步长h=0.001,λ=λ+h,重复上述过程得到相应的模拟值和平均相对误差,一直进行下去直到λ=1。比较不同的优化因子的平均相对误差,平均相对误差最小的即为最佳优化因子。

由最佳的优化因子λ得到相应的参数a,u并获得相应的预测公式(4)和(5),称之为引入优化因子的GM(1,1)模型。

三、引入优化因子的GM(1 ,1)模型用于旅游客源的预测

下面我们将引入优化因子的GM(1,1)模型用于旅游客源的预测,并与传统的GM(1,1)模型和文献[2],[4]给出的改进模型的结果进行比较。根据1999―2007年《中国统计年鉴》的数据,中国1998―2006年的入境旅游人数(见表1)。

根据计算,传统的GM(1,1)模型(记为方法1)中参数a=-0.141160,u=6.633047,相应的预测公式为:

(0)k=8.201626×e0.141160(k-2) k=2,3,4,…n (7)

文献[2]中的改进方法(记为方法2),经计算取k=3,于是背景值计算公式为Z(1)i=(4/6×X(1)i+2/6×X(1) i+1),参数a=-0.144297,u=6.806506,相应的预测公式为:

(0)k=8.425390×e0.144297(k-2)k=2,3,4,…n(8)

文献[4]中的改进方法(记为方法3),经计算比较,选用背景值计算公式为Z(1)i=(39/90×X(1)i+51/90×X(1) i+1)的方法,参数a=-0.139940,u=6.565948,相应的预测公式为:

(0)k=8.115175×e0.139940(k-2)k=2,3,4,…n(9)

本文引入优化因子的GM(1,1)模型(记为方法4)中最佳的优化因子为λ=-0.318,相应的参数a=-0.144150,u=6.7983425及预测公式为:

(0)k=8.414848×e0.144150(k-2)k=2,3,4,…n (10)

四种方法的计算结果(见表2)。

从表2可看出,四种方法的平均相对误差都较小,除2003年外(2003年因非典的原因造成数据极度异常)的模拟值的相对误差也较小,这说明GM(1,1)模型用于旅游客源的预测是较好的选择。同时也发现,在四种方法中本文提出的引入优化因子的GM(1,1)模型的平均相对误差最小,数据的模拟精度最高,因此用于预测应该具有更好的预测精度。

将四种方法用于预测未来三年的入境旅游人数,根据2008年《中国统计年鉴》的数据,2007年的实际入境旅游人数为26.1097百万,计算结果(见表3)。

从表3仍可看出,本文提出的引入优化因子的GM(1,1)模型的预测结果的相对误差最小,说明本文提出的引入优化因子的GM(1,1)模型能有效提高预测精度。

四、结论

本文在GM(1,1)模型中引入优化因子,通过最佳优化因子的选择获得平均相对误差最小的预测公式,使GM(1,1)模型的预测精度得到提高。该方法同时适用于非负单调递增序列和非负单调递减序列的模拟与预测,克服了已有文献中提出的改进方法的缺陷。应用实例也表明该方法具有更高的预测精度。

参考文献:

[1]邓聚龙.灰色控制系统[M].武汉:华中工学院出版社,1985.

[2]谭冠军.GM(1,1)模型的背景值构造方法和应用[J].系统工程理论与实践,2000,(4):98-103.

[3]李俊峰,戴文战.基于插值和Newton-Cotes公式的GM(1,1)模型的背景值构造新方法与应用[J].系统工程理论与实践,2004,

(10):122-126.

[4]邱淑芳,王泽文.灰色GM(1,1)模型背景值计算的改进[J].统计与决策,2007,(2):129-131.

[5]中华人民共和国国家统计局. 1999―2008年中国统计年鉴[K].北京:中国统计出版社,1999-2008.[责任编辑 陈丹丹]