频域变换的引入

摘要：数字信号的频域变换一直是教学中的难点，原因在于缺少必要的引入。本文给出了频域变换的引入方法，从学生熟知的笛卡尔坐标开始，经过以图示的方式给出的信号的合成与分解，逐步将学生引入到频域变换的公式、定理和性质上。实践证明，该引入方法符合学生的认知规律，显著提高了教学效果。

关键词：频域变换；限失真信源编码；信息论与编码理论；信息安全

中图分类号：G642 文献标识码：B

1引言

数字信号的频域变换(或者叫做时频变换)，即时域数据与频域数据之间的相互转换，在信息安全专业的“信息论与编码”，计算机专业的“数字信号处理”、“数字图像处理”等课程中都涉及到了。这个概念是信息处理理论的基础概念，透彻理解该概念对于这些专业的学生，尤其是从事音频、视频、图像等多媒体数据处理的研究生来讲至关重要。

然而从作者求学的切身经历以及多年的教学经验，我们感到“频域变换”这个概念很难理解，学生掌握起来有一定困难。只有找到一个合适的切入点，将此概念与学生熟悉的知识联系起来，才能深入浅出，让学生轻松掌握。

2现有方法及其问题

现有讲解方法在介绍了时域离散信号、时域离散系统等概念之后，就开始讲频域变换。频域变换有很多种，一般从Z变换或者离散付里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)讲起，讲解方法如下(以DFT为例)：

设x(n)是一个长度为N的有限长序列，则定义x(n)的N点离散付里叶变换为

1) 理论性过强。无论是讲DFT的定义，还是DFT的性质、采样等内容，基本上是一个公式接着一个公式，而且公式还都比较复杂，缺少对公式必要的解释。这使得很多学生失去了学习兴趣，“看不懂”是学生的普遍反映。

2) 缺少必要的引入。一开始就是DFT的定义，那么这个定义是怎么来的呢？为什么会出现这样一个定义呢？公式中各个变量的作用是什么？有了这个公式有什么好处呢？它都在哪些地方发挥作用呢？等等一系列的问题都没有答案。而实际上，知道一个概念的来龙去脉对于理解该概念是大有好处的。

3频域变换的引入

由于现有的频域变换讲解方法存在一定的问题，因此有必要研究新的讲解方法，尤其是引入方法。从学生熟知的内容开始，先让学生有感性认识，然后逐步过渡到公式、定理和性质上，这样才是真正的深入浅出。作者在多年的教学过程中，总结了一套频域变换的引入方法，其过程是“笛卡儿坐标信号的合成与分解各种常用变换的公式、定理和性质”。

3.1笛卡尔坐标

笛卡儿坐标，这是一个在初中就学过的概念，任何一个学生对它都不会感到陌生。在这个简单概念中就蕴含了频域变换的基本特点。如图1所示，讲解时按如下步骤进行：

1) 坐标中的那个小黑点就是空域数据，之所以称为空域数据，是因为它是空间中的一个点。在信号处理领域时间和空间不严格区分，因此空域(空间域)数据和时域(时间域)数据两个名词经常混用。

2) x轴和y轴说白了就是空间中的两个向量，在频域变换中把它们叫做“基”，直观上这两个基互相垂直，频域变换中“垂直”叫做正交，因此x轴和y轴就组成了一组正交基。

3) 空间中的小黑点在x轴上的坐标为1，在y轴上的坐标为2，因此它的坐标为(1,2)，这段话用频域变换的语言描述就是空域数据在基x上的系数为1，在基y上的系数为2，因此(1,2)就是频域数据。

图1笛卡尔坐标中的时频变换

这样，通过笛卡尔坐标这样一个简单的例子，使学生对频域变换中的空域(时域)、频域、基、正交、系数等概念有了初步的感性认识。

3.2信号的合成与分解

虽然学生已经有了对频域变换的初步认识，但这种认识建立在笛卡尔坐标之上，离信号处理领域有一定距离，如果此时直接开始讲各种常用变换的公式、定理和性质，学生难以将两者直接联系起来，会破坏学生刚刚建立起来的概念和兴趣，因此我们以图示的方式描述信号的合成与分解，作为频域变换的第二个引入。如图2所示，讲解时按如下步骤进行：

1)(a)~(d)表示的是四种信号(时域数据)，横轴表示的是时间，纵轴表示的是信号的幅度(或者叫做强度)。

2)(a)表示的是一个幅度不随时间发生变化的信号，它的强度是5，像这样的幅度不随时间发生变化的信号叫做直流信号。

3)(b)表示的是信号5sin(x)，(c)表示的信号是0.5sin(6x)，这两个信号相比较来说：

 (b)变化的慢，是低频信号；(c)变化的快，是高频信号。

 (b)的幅度大(为5)，表示该信号能量大；(c)的幅度小(为0.5)，表示该信号能量小。

4)(d)是将(a)、(b)、(c)三个信号相加之后的信号，叫做(a)、(b)、(c)的合成信号，可以看到该信号的大体趋势与(b)信号相同，但是在细节上又不是很平滑，这是由(c)信号造成的，因此我们说低频分量表示的是信号的主体，而高频分量表示的是信号的细节。

5) 信号的合成讲完了，反过来考虑信号的分解，(d)信号可以被分解为5、5sin(x)、0.5sin(6x)三个信号，即它可以表示为5+5sin(x)+0.5sin(6x)，这其实就是一个频域变换公式。其中的sin(x)和sin(6x)是一组正交基，之所以两者正交，是因为两者的内积为0，内积为0在笛卡尔坐标中的直观几何意义就是互相垂直。5sin(x)中的5是基sin(x)的系数，0.5sin(6x)中的0.5是基sin(6x)的系数。因此如(e)所示，(d)信号对应的频域数据就是(5,5,0.5)，其中第一个5是直流分量。

6) 总结上述过程可以看到，所谓的频域变换，需要先确定一组正交基，然后将信号用这组正交基表示出来，直流分量和基的系数放在一起就是频域数据。选择的正交基不同，就产生了不同的频域变换。通常，由时域到频域的变换叫做频域变换，由频域到时域的变换叫做逆频域变换。

讲到这里，学生已经对信号的频域变换有了一个定性的基本认识，进一步了解了强度、直流、交流、高频、低频、能量、正交、变换、逆变换等概念，在此基础上就可以定量地讲解公式、定理和性质了。

4在限失真信源编码中的应用

限失真信源编码是“信息论和编码理论”中一个非常重要的内容，又叫做有损压缩，它指的是通过对信号进行编码来压缩信号的数据量，这种压缩会引起信号一定程度的失真，但是这种失真被控制在一定的范围之内。限失真信源编码应用范围非常广泛，尤其在多媒体编码领域，像常见的JPEG、MPEG等都属于限失真信源编码。有了前面的两个引入，再讲限失真信源编码原理就比较容易了，如图3所示。

图3限失真信源编码

接着“信号的合成与分解”中的信号(d)，该信号经过频域变换之后的数据为(5,5,0.5)，其中的0.5是高频分量的系数，前面已经讲过，高频分量仅影响信号的细节，因此可以将高频分量去掉而不影响信号的大体趋势，对应在这三个系数上就是保留前两个系数，丢弃高频系数0.5，这样(d)这样一个比较复杂的信号就被编码成了两个实数(5,5)。

由(5,5)经过逆变换得到被还原后的信号，可以看到被还原后的信号和编码之前的(d)信号大体趋势相同，但是被还原后的信号舍弃了细节。两者不同，说明编码过程有失真，但这种失真仅表现在细节上。

原理讲完之后，我们还讲了该原理在JPEG中的应用。数码相机拍摄的照片一般都是“.jpg”格式，该后缀表示采用了JPEG压缩标准来压缩照片的数据量。JPEG的基本原理与图3所示的过程基本相同，它采用的频域变换为离散余弦变换，根据人眼视觉特点舍弃频域系数中人眼感觉不到的系数，被保留下来的系数保存成“.jpg”文件，当我们看照片的时候，照片浏览器对“.jpg”文件进行译码，显示被还原后的信号。不过此时的信号与原始信号相比，质量已经降低了，不过人眼感觉不到这种差别。

5结束语

本文中提到的频域变换的引入是作者结合自己的科研经验，在教学过程中不断总结最终设计出来的。该引入一经在课堂上讲解，立刻引起了学生的兴趣，大家进行了热烈的讨论，并促使学生主动钻研课程内容，收到了很好的教学效果。

参考文献

[1] 姜楠. “信息论”课程本科教学探索与实践[J]. 计算机教育,2007,(24):52-54.

[2] 姜楠. 中美“信息论”课程教学的比较和启示[J]. 计算机教育,2008,(13):120-122,117.