时间：2022-08-01 12:05:28
一、圆的有关性质题型
例1如图1，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的O交BC于点D，交AC于点G，连结AD，并过点D作DEAC，垂足为E.根据以上条件写出三个正确结论（除AB=AC，AO=BO，∠ABC=∠ACB外）是
（1）；
（2）；
（3）.
分析（1）根据直径所对的圆周角是直角知ADBC，又AB=AC，所以D是BC的中点，所以BD=CD.
（2）在RtDEC和RtADC中，
∠C=∠C，
∠DEC=∠ADC=90°，
所以RtDEC∽RtADC.
（3）连结DG，知∠CGD=∠B=∠C.
又DECG，所以CE=GE.
（4）连结OD，得
∠ODE=∠ODA+∠ADE
=∠OAD+∠C
=∠BAD+∠B=90°，
所以DE是O的切线.
解（1）BD=CD；
（2）RtDEC∽RtADC；
（3）CE=GE；
（4）DE是O切线.
点评本题综合运用了等腰三角形的性质，相似及圆的切线判定，解题的关键是抓住题中所给的已知条件，探索出不同的结论.
二、直线与圆的位置关系题型
例2如图2所示，BE是O的直径，点A在EB的延长线上，弦PDBE，垂足为C，连结OD，且∠AOD=∠APC.
（1）求证：AP是O的切线；
（2）若OC∶CB=1∶2，且AB=9，求O的半径.
分析连PO，要证AP为O的切线，可证APPO即可.
解（1）连结PO，则PO=OD，
所以∠D=∠OPC.
因为PDAO，
所以∠D+∠AOD=90°.
因为∠APC=∠AOD，
所以∠APC+∠OPC=90°，
即∠APO=90°.所以APPO.
所以AP为O的切线.
（2）因为OC∶CB=1∶2，
故可设OC=a，CB=2a，
则OP=OB=3a.
因为PCAO，APOP，
∠COP=∠POA，
所以RtPCO∽RtAPO，
OCOP=OPOA，
即OP2=OC·OA，
所以（3a）2=a·（3a+9）.
因为a>0，所以a=32，
所以O的半径为3a=92.
点评本例考查了切线的判定定理，通常要证一直线是圆的切线，可证这条直线经过半径的外端且与半径垂直.
三、圆与圆的位置关系题型
例3在平面直角坐标系中，两圆的圆心坐标分别为（0，1）和（1，0），其半径分别是1和2，则这两个圆的位置关系是
A.外离B.相切
C.相交D.内含
解析本题考查两个圆的位置关系，而关键是在平面直角坐标系中结合图形利用勾股定理求出圆心距，由条件可得圆心距为2，因为2—1
点评圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其关系可以用圆与圆的公共点的个数及圆与圆半径、圆心距，半径之和、半径之差的数量关系来判定.
四、圆的有关计算题型
例4如图3，ABC中，∠A=30°，AC=2a，BC=b，以直线AB为轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的表面积
分析这个几何体是两个共底面的圆锥组合而成的，其表面积是这两个圆锥的侧面积之和，即两个扇形的面积之和.
解过C作CDAB于D.
在三角形ACD中，
因为∠A=30°，∠D=90°.
所以CD=12AC=a.
所以S=S1+S2
=12·2πa·2a+12·2πa·b
=（2a2+ab）π.
点评同学们通常解决的问题是一个直角三角形绕其直角边旋转的情况，对此题绕斜边而无从下手.其实通过观察想像，本题可以转化为两个绕直角三角形的直角边旋转的情况来考虑，如图，过C作CDAB于D，即可把陌生的问题转化为我们熟悉的问题.
五、重要思想方法题型
1.转化思想
例5如图4，已知矩形ABCD中，AB=1 cm，BC=2 cm，以B为圆心，BC长为半径作14圆弧交AD于F，交BA的延长线于E，求阴影部分面积.
分析要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF，
S阴=S扇形BFE—SABF.
解连结BF.因为点F在以B为圆心，BC为半径的圆上，所以BF=BC=2.
在RtABF中，AB=1，BF=2，
所以∠ABF=60°.
所以S扇形BFE=60·π·22360=23π.
又AF=BF2—AB2=3，
SABF=12×3×1=32，
所以S阴=S扇形BFE—SABF=2π3—32.
答：阴影部分面积为（2π3—32） cm2.
点评在求阴影部分的面积这类问题时，常常把阴影部分置于一些规则的图形中去考虑，体现了数学里面的转化的思想方法.
2.模型思想
例6如图5，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）.
解析由题意要求圆弧BF的长，只要求得圆心角∠BAF的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC置于一个直角三角形中来计算其度数.
过点B作BE地面于点E，作BGAD于点G，则有GD=BE=2.
又AD=AC+CD=3.5，
所以AG=1.5.
在RtABG中，AB=3，AG=1.5，
所以∠BAC=60°，
所以∠BAF=120°.
则弧BF的长=120·π·3180=2π
≈6.3 （米）.
点评借助数学模型来解决实际问题是很重要的数学方法.本题的关键是将荡秋千的问题转化为数学里的求弧长问题，为解决问题寻找线索，题中的条件要会灵活运用.