分段函数的微积分典型问题例析

摘 要：函数作为高等数学中最为重要的研究对象，是高等数学的基础，其研究思想和方法在整个高等数学学习过程中都会涉及到。分段函数是函数中一类特殊的函数，相对于其他函数具有一定的难度。本文以分段函数为研究对象，结合例题就其相关问题进行分析，从而为分段函数的解题提供方向，突破高等数学中分段函数问题上的难点。

关键词：分段函数 问题 例析

中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）05（a）-0073-02

在高等数学的学习过程中，分段函数作为函数殊的一类，对其理解和接受都存在一定难度，同时也是高等数学教学中的重点和难点。为了突破这一难点，就要掌握分段函数在分界点处的各种性质，进而利用微积分计算等方法进行求解。

1 分段函数和微积分

分段函数是指在不同的定义域区间具备不同解析式的函数，即不能用同一解析式进行表达的函数。归根结底，分段函数也是一个函数，其图像也是唯一的。而分段函数在分界点的性质变化正是其难点所在，也是其本身特殊性所在，因此为了研究分段函数，首要的研究目标就是分段函数的分界点，而微积分在高等数学中也占据着重要的地位，是研究函数有关概念和性质的数学分支，能够使得分段函数中分界点的相关计算有据可依。两者的互相补充为高等数学的解题带来了便捷。

2 分段函数微积分问题归类与分析

2.1 一元分段函数微积分

2.1.1 对一元分段函数在分界点处的极限判断

对于一元函数分界点处极限的判断，主要是依据分段函数的表达形式。若函数表达形式在分界点的左右不同，就可以依据分段函数在分界点处左右极限来判断，当极限存在且相等时，该点存在极限；若不存在或者两者不相等时，则该点不存在极限。若分界点左右的函数表达方式相同，就可直接运用计算极限的常用方法将极限计算出来。举例说明：

例1：已知函数=，求（1）；（2）。

解析：由分段函数表达式可知，x=1为该分段函数的分界点，当x1时，所对应的解析式也不同。所以针对（1）问，应该讨论当x趋近于1时的左右极限。因此x时，x1，此时，因此则有函数的左极限与右极限相等，即=1，因此=1，进而得到 。

2.1.2 对一元函数在分界点处的连续性判断

函数在某一点具有连续性的充要条件是函数在该点同时满足左连续和右连续。高等数学中也正是依据这个条件来判断分段函数中分界点处的函数连续性。其具体解决步骤为：第一步，利用左右连续的定义进行分界点左右连续情况的判断；第二步，根据结果进行判断，当左右都连续则证明该分界点连续，若其中有一个不连续或者左右极限不存在或者函数在该分界点不存在定义，即可判断该点不连续。举例说明：

例2：判断函数在指定点处的连续性。

，在x=1的点。

，在x=1的点。

，在x=0的点。

解析：虽然满足==1的条件，但是=，所以在x=1该点处并不连续。

根据分母不可为0的条件，可知在x=1处无定义，因此在x=1点处不连续。

因为=1；=-1，因此左右两边的极限值不等，该函数在x=0处不连续。

2.1.3 一元分段函数的导数计算

由于分段函数是由多个解析式进行表达的函数，因此，分段函数的求导也可以采取分段求导的方式，分界点处则需要进行单独讨论。对于分界点处的函数求导主要有以下两种方法，即利用分段函数在分界点的导数定义进行求导，或者利用分段函数在分界点处的导数极限存在定理进行求导。此处着重介绍第二种方法，即利用分段函数在分界点处的导数极限存在定理进行求导。举例说明：

例3：=，讨论当n分别等于1，2，3时在x=0处的连续性、可导性以及其对应导函数的连续性。

解析：（1）当n=1时，分界点处的函数连续但不可导。

针对其连续性：有= =0=，因此可以证明此点函数连续。

针对其可导性，有：

不存在，因此该函数在x=0处不可导。

（2）当n=2时，分界点处的函数连续且可导，但是其导函数在x=0处不具备连续性。

针对其连续性：有= =0=，因此可以证明在该点函数具有连续性。

针对其可导性：

，即=0，因此有该函数在x=0处可导。

针对其导函数的连续性，有： ，因此不存在，即该函数的导函数并不具有连续性。

（3）当n=3时，分界点处的函数连续且可导，其导函数也连续。

函数在分界点处的连续性和可导性求解方法同（2）问。

针对其导函数的连续性：有 ==0，因此当n=3时，其导函数在x=0处连续。

2.1.4 一元分段函数的不定积分计算

分段函数作为导函数，其原函数在通常状况下也是分段函数，每一个表达式的原函数都有一个常数。根据不定积分的可积性，在导函数连续的情况下，原函数也一定连续，且其中的不定积分只具有一个任意常数。因此，一元分段函数的积分计算，关键在于函数的连续性。通过找出分段原函数在分界点的连续性就可以进一步找出任意常数之间的关系，从而求出分段函数的原函数。其步骤主要可以分为以下两步：先分别求出各区间段不定积分的表达式，之后再由原函数的连续性确定积分常数之间存在的关系。举例说明：

例4：设=，求。

解析：是在区间（-，+）间的不定积分，因此，=。

当x≤0时，=。

当x >0时，=。

因为不定积分只能含有一个任意常数，并且要满足在区间（-，+）内可导，所以原函数在（-，+）区间内一定是连续的，根据这个条件，便可以消去其中一个常数项。

由在x=0处连续可以得出，，即，令=C，则有

=

2.1.5 一元分段函数的定积分求法和微分方程

在有限区间内求分段函数的定积分相对来说比较简单，可以通过在有限区间内的函数可加性进行计算。

二元分段函数和一元分段函数一样，都是采用类似的求解方法，区别只是在于自变量的个数有所增加，进而使得积分形式增多。其中涉及到的积分形式主要有二重积分、三重积分、曲面积分、曲线积分等，随着维数的逐渐增大，数形结合解决更具难度，计算上也更为复杂。举例说明：

例5：证明函数

在点（0，0）处连续，其偏导数存在。

解析：因为≤≤，

所以有=0=，所以该函数在点（0，0）处连续。

同时，因为，所以=0，同理=0，因此此处存在偏导数。

3 结语

分段函数的微积分是帮助我们解决函数极限、连续性、可导性、不定积分与定积分计算的有效工具，在相关问题的解决上有着重要的作用和意义。除此之外，在生活中也有一定的应用意义，因此，分段函数的微积分典型问题的例析是十分有必要的，通过相关问题的例析使学生掌握问题的解决方向和有效方法，不仅对于学生独自解决分段函数微积分问题的能力提高有益，对其日后的高等数学的学习过程也有着积极的、长久的意义。

参考文献

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