用线性代数求常系数线性递推数列组

摘 要：数列是数学的重要内容之一，而研究数列的通项公式是探讨数列问题的重要渠道。本文主要运用迭代和矩阵对角化的方法导出常系数线性递推数列组的解法。

关键词：常系数线性递推数列组;线性代数;通项公式

在实际生活中经常会出现各种各样的递推关系，有些递推关系可以用迭代或者其他的方法和技巧求解，有一类重要的递推关系则需要用一种系统的方法明确地求解。在这类递推关系中，数列的某项由它前项的线性组合来表示。

一、定义和定理

定义2：设A是数域K上的n级矩阵，如果Kn中有非零列向量α，使得Aα=λ0α，且λ0∈K

则称λ0是A的一个特征值，称α是A的属于特征值λ0的一个特征向量。|λI-A|称为矩阵特征多项式。

定理1：数域K上n级矩阵A可对角化的充要条件是：A中有n个线性无关的特征向量，α1，α2，…，αn，此时令P=（α1，α2，…，αn），则P-1AP=diag{λ1，λ2，…，λn}。

二、常系数线性递推数列组的解法步骤

通过迭代可以把方程组（1）An+1=A・An=A2・An-1=…An・A1。

第一步：利用定理1判断矩阵是否可以对角化。

第二步：若矩阵A可以对角化，则An=（P・diag{λ1，λ2，…，λn}・P-1）n=P・diag{λ1n，λ2n，…，λnn}・P-1，将其代入An+1=An・A1得方程组（1）的解。

若矩阵不可以对角化，则方程组（1）有无穷个解。

三、应用举例

例1递推数列组xn+1=xn+2ynyn+1=4xn+3yn（其中x1=4，y1=11）的通项公式。

解：特征方程f（λ）=|λI-A|=λ-1 -2-4 λ-3=0，特征根为λ1=5，λ2=-1。对于λ1=5对应的特征向量α1=12，对于λ2=-1对应的特征向量α2=1-1。则A中有2个线性无关的特征向量：α1，α2，因此可对角化。令P=1 12 -1，则：xn+1yn+1=An+1=An・A1

=1 12 -1・5n 00 （-1）n・1 12 -1 ・411=5n+1+（-1）n+12.5n+1-（-1）n+1。

解：特征方程f（λ）=|λE-A|=λ-1 2 4 2 λ-4 2 4 2 λ-1=0，特征根为λ1=5（二重），λ2=-4。

对于λ1=5对应的特征向量α1=1-20，α2=10-1，对于λ2=-4对应的特征向量α3=212。则A中有3个线性无关的特征向量：α1，α2，α3，因此A可对角化。令P= 1 1 2-2 0 10 -1 2，则xn+1yn+1zn+1=An+1=An・A1= 1 1 2-2 0 10 -1 2・5n 0 00 5n 00 0 （-4）n・ 1 1 2-2 0 10 -1 2-1

参考文献：

[1]邱维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.

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