习题课教学中提升学生思维水平的优化方法

摘 要：减轻学生课业负担，切实提高教学质量，是现代教学的题中之意． 本文以有效练习为切入点，优化教学策略，落实“减负增效”教育方针．从教学实例出发，在习题课教学中以培养学生的思维能力为主旨，从选题、讲题及题后反思三个方面优化教、学方法，促进学生思维能力的培养、发展和提高．

关键词：习题教学；题组；学生说题；反思；提高思维水平

新课改提倡优质高效的课堂教学．那么，什么样的数学课堂才是高效的呢？笔者认为一堂课是否高效取决于是否牢牢吸引住学生，主要表现在课堂上学生是否在积极思考，而不是被动听讲；学生是否在探索问题解决的方法，而不是简单模仿和记忆；学生的思维水平是否得到有效的锻炼．在平时的教学中笔者发现，很多学生能够很好地完成课本习题，却不能在考试中取得好的成绩． 是否必须解大量的课本外的题才能真正提高解题能力？学生已能正确地完成课本习题，思维能力却不见提高． 这个问题，在最近一年中一直困扰着笔者． 实质上这个问题是教师对教育规律和练习设计把握不当的表现．为了切实提高教学质量，减轻学生过重的课业负担，以有效练习为抓手，优化教学策略，落实“减负增效”教育方针，这就要求教师积极引导学生参与课堂教学活动中，而现代数学教学论认为，数学活动的核心是数学思维活动．因此在数学教学中，我们应重视培养学生具有良好的思维品质，提高学生数学素质，这对中学数学教学质量有着十分重要的意义． 本文主要是在习题课教学中教师如何设计习题、如何进行习题讲解及习题后的反思，这三个环节如何培养学生的思维能力谈一些做法．

■设计题组，培养学生解题的思维能力

习题课教学少不了教师对习题的设计和选取．设计有效的例题是培养学生优质思维品质的前提．实施题组教学，是有效培养学生思维品质的重要手段之一．所谓题组，简单地说就是两个或两个以上具有内在联系的数学题组的组合．数学学科本身的特点之一就是其内在的严密的逻辑性．把那些具有内在逻辑的、能够揭示数学规律的题目配成题组，通过它们的“教”与“学”，对数学教学目的的实现可以起到事半功倍的效果．

1． 变换题设，挖掘习题含量

这类题组是以基本问题为主干的一套反映知识各个侧面的题组，帮助透彻理解知识之间的联系．即通过对问题的题设进行变换，对同一个问题从多个角度去研究，可以增强学生解题的应变能力，培养学生思维的灵活性和想象力，从而培养创新意识．

例如 已知，如图1，∠CAE是ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求证：AB=AC

分析：本题可通过平行线的性质：等角对等边来证明．

变式1：结论AB=AC和题设AD∥BC对换．

此时需用等边对等角、三角形外角性质和平行线的判定等知识来证明．

变式2：结论AB=AC和题设∠1=∠2对换．

此时需用等边对等角、平行线的性质等知识来证明．

变式3：增加题设，AF为ABC的中线，结论换为AFAD．

此题实质是原题的补充，即证得AB=AC后，再由等腰三角形的“三线合一”的性质而得AFBC，结合AD∥BC得AFAD．

变式4：增加题设，过AC的中点H作AD的垂线交AE于点G，变换结论为：AG=■AB（如图2）. 此时，通过三角形全等得AG=AH，再结合原题可得证．

由上述对原题的四种变换得到的题组，把平行线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定进行了综合训练，提高了学习的效率，培养学生综合运用知识的能力．

2． 归类同类习题，有效挖掘共性?摇

人的认识总是由浅入深、由简单到复杂的．在习题课中采取低起点、小步子、递进式，用题组的方式对某一个知识点进行拓展，从而加深对同一类问题的理解．这种题组以一种解题方法为核心的一套反映各种不同应用情况的题组，帮助学生完全掌握解题方法．对于课本中的同一难点知识或难度大的题目，可以围绕难点，按照从易到难的梯度设计一系列小题，以化大为小，各个击破．这样做不仅能提高学习效率，还可以让学生通过挖掘题目共性，培养学生思维的灵活性．

例如

例1 如图3，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．

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图3

例2 如图4，A，B在直线l的同侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．

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图4

例3 在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=_______时，AC+BC的值最小．

例4 如图5，在锐角ABC中，AB＝4■，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则MNB周长最小是______．

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图5

例5 恩施土家族苗族自治州自然风光无限，以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世． 著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路x同侧，AB=50 km，A，B到直线x的距离分别为10 km和40 km. 要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A，B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图6是方案一的示意图（AP与直线x垂直，垂足为P），P到A，B的距离之和S1=PA+PB；图7是方案二的示意图（点A关于直线x的对称点是A′，连结BA′交直线x于点P），P到A，B的距离之和S2=PA+PB．

（1）求S1，S2，并比较它们的大小；

（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图8所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30 km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P，Q，使P，A，B，Q组成的四边形的周长最小． 并求出这个最小值．

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图8

例6 如图9，抛物线y=－■x2－■■x+■交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）把ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，求E的坐标；

（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得PAD的周长最小．

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图9

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

以上各题有着共同性，都是利用轴对称性质来解决路径最短问题． 例1利用两点之间线段最短的基本概念，只用连结AB即可轻松解决． 本题虽然简单，但却是所有题目的基础． 例2直接求点Ｂ关于直线l的对称点B′，连结B′A可得到P． 例3实质是把题目的背景放在坐标系． 例4比前四个问题更深一层，学生有前三个的解题经验，易想出解决的方法．例5是分别求A关于x轴的对称点A′，B关于y轴的对称点B′，连结A′B′并求出其解析式，进一步求出P，Q两点的坐标． 例6是一道综合题，与函数有机结合，最后一问是学生的难点，如果学生有了前面的基础，相信会有足够的信心去迎接挑战．

■变“教师讲题”为“学生说题”，激发学生积极的数学思维

部分教师在平时的教学中片面追求课堂进度，常常就题论题，强化解决问题的常规思维，反复操练，从头到尾，流水账似的一一分析讲解题目，一部分学生忙着记笔记，完全成为知识的容器；一部分学生只关注结果，记忆结论，形成了不良的思维定式，以至考试时受到以往知识的负迁移，造成不应有的失误． 习题课中让学生参与说题，是有效培养学生思维品质的另一个重要手段．

所谓“说题教学”，是指让学生在课堂上说题目的条件、结论、涉及的知识点（包括概念、公理、定理、原理等）；说条件、结论之间的转化；说与学过的哪一类问题相似；说可能用到的数学思想方法；说自己的想法和猜测；说解题方法是如何想到的；说为什么这样想．教师则根据学生交流的情况适时点拨、引导，避免学生离题太远．

例如，P是圆内一点且O的半径为5，OP为3，求经过圆内一点P的弦的整数条数．

学生们争相告诉答案，有的说3条，有的说4条．

笔者先让认为3条的学生讲解．那学生分析：圆内最长的弦是直径10，而最短的弦是8，经过点P的弦有无数条，这无数条弦中整数的弦是9，所以共有3条．

“讲得头头是道！”笔者带头鼓掌．

然后笔者又请认为4条的学生申述理由．他们指出整数为9的弦有对称的2条，所以总数应是4条． “这下思维更严密了！”笔者又带头鼓掌．

笔者接着问：“这个命题我们能否改变一个条件，使它整数的弦可以再多一些呢？”

马上有学生举手了． 他说：“可以把半径加长，改成6，此时，最长的弦是12，最短的弦=2■=6■>10，呀，只有3条．”

又有学生试图把半径缩短，改成4，那么最短的弦=2■=2■>5，那么整数有6、7、8，其中6、7各有两条，共5条，学生们热烈鼓掌．

沉默了几分钟，有学生改变思路，说把弦心距OP改成4，那么最短的弦=2■=6，那么6与10之间有整数7、8、9，加上对称的3条，所以此时总数有8条．

未等笔者说好，学生们已经是掌声如潮了．

课堂上通过学生“说题”，是教与学的交往和互动，师生双方相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充． 在这个过程中，教师和学生分享彼此的情感，使学生成为课堂的主体，教师为主导． 教学中学生“说题”激发各个层次学生的参与欲望，而练习题中最困难部分的攻坚又是全班学生共同开动脑筋，群策群力，这是一种很好的思维训练，可以拓展学生思维的辐射度，在培养他们思维品质的深刻性、独创性、灵活性、敏捷性等方面起到很好的效果．

注重题后反思，提高学生的思维水平

《数学课程标准》明确提出：“通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验”． 学会反思，善于积累，才能对自己的学习过程、学习方法进行监控，才能为自己的学习效果承担责任． 实现新课改精神的关键是帮助学生形成正确的学习方式，数学学习的反思是数学思维活动的核心和动力，是学生的一种重要的数学元认知能力，是学生进行高水平、高效率、高质量的数学认知所必不可少的环节和本领，对学生数学素质提高和终身发展具有特别重要的意义．

除了反思习题的解题过程中所用的知识点，反思解题的数学思想方法外，反思题目能否变换引申，改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件，结论能否进一步加强；条件作类似的变换，结论能否扩大到一般；思维方法能否迁移．

例如 如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，求证：∠B＝∠C．

图10

变形：?摇已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，AD＝15，AB＝45，求BC的长．

分析：?摇该题主要思路是平移腰将梯形分成等腰三角形和平行四边形．结合平行四边形及正三角形的边长特征来解决问题．通过变形，使学生进行全方位的思考，这常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口．

又如：?摇求证：顺次连结四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形．

分析： 此题除了要反思一题多解，还可以将题设变换为特殊的“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”等情况，以有助于开拓学生的解题思路，让学生思维插上想象的翅膀．

反思性数学学习的基本特征是它的探究性，在数学学习活动探究其中的问题和答案，建构自己对问题的理解，产生超越已有信息外的信息． 学生在平时做题过程中养成解题后的反思习惯，善于在反思上下工夫，既可促使其牢固掌握“双基”，促进知识的有效迁移、同化和深化对问题的理解，又可提高解题效率和正确率，同时也是学生学好数学、教师搞好数学复习的有效措施，更是一种提升学习能力的好办法――学生在反思中获得方法、在反思中升华思维、在反思中提高能力、在反思中重塑自我、超越自我．

培养学生解题能力的途径和方法很多，但无论哪种途径和方法，最根本最相通的是思维的训练． 如果在数学教学中优化教学过程，就可以帮助我们发现学生所具有的学习能力和潜在能力，知道如何为这些能力提供帮助，用我们的教学风格影响学生的学习方式，以培养学生更好更敏捷的思维能力．