从新课程下的高考卷中反思数学教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）03-0155-03

2012年高考悄然离去，湖北卷给广大师生的冲击波余威犹存。2012年的数学湖北卷继续贯彻“坚持稳定为主，注重基础考查，突出能力立意，着力内容创新”的命题指导思想，以新课改为契机，在试卷的内容和题型等方面进行了调整，较好地处理了继承与发展、稳定与创新的关系，将数学知识和能力融为一体，全面检测考生的数学素养。此次高考是湖北省高考自主命题的第9年，也是采用新课标教材之后的第一次高考。文理科试卷紧扣《考试说明》，试卷总体难度适中，没有出现偏题和超纲题，试卷中的题型比较新颖，试卷以主干知识作为考查的重点，将函数思想、算法思想、等价转化思想、数形结合思想、统计与随机思想等作为主线，试题贴近教材，试卷布局由易到难，由简单到综合，收到了“难度适中、坡度平缓”的效果。

湖北省采用新课标教材之后的首届高考，自然备受大家的关注，人们的评价可谓是百花齐放，但有一点应该是大家的共识：对于基础知识不扎实的同学，会觉得试卷整体难度偏大，学生答题普遍不适应。笔者认为，湖北卷稳中求变，变中求新，注重新课程理念的渗透，给我们的教学带来了很多启示。高中数学教学应注重引导学生理解数学的本质，是本卷给笔者的启示之一。

教学中如何引导学生理解数学的本质呢？下面笔者结合本卷谈谈一点思考，供大家交流。

一、重视知识间的联系

新课标打破传统的大纲体系，建立新的课标体系，知识体系形散而实不散。教师要引导学生重新建构知识体系，将看似凌乱的知识有机地整合起来，特别注意加强初高中知识间、新旧知识间的联系。

理科题 6 设 a、b、c、x、y、z是正数，且a2+b2+c2=10（1），x2+y2+z2=40（2），ax+by+cz=20（3），则■=（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

此题考查新增知识中柯西不等式最值成立的条件，多数学生能顺利作答，笔者的孩子是其中之一。事后我们探讨，他很流畅地叙述了解答过程，很完美，笔者表示赞赏，并鼓励其反思。他又用特殊值法给出了答案，笔者仍不满意。继续思考了一会，他一脸茫然，好像再也没有办法啦。笔者提示，是否可用初中学过的配方法呢？他恍然大悟，给出如下解法：

（1）×4+（2）-（3）×4得：（2a-x）2+（2b-y）2+（2c-z）2，这正是柯西不等式的本质。

数学教学的实质是学生知识的发生过程，数学学习是一个以学生已有的认知结构为基础的主动建构过程，重视知识间的联系，有利于理解知识的本质。柯西不等式的代数证法正是配方法，能用柯西不等式求解，却不能用配方法求解，即使完成了该题，也只是机械模仿，没有理解其本质。教学中利用数学知识间的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，提高学生对数学的整体认识，有利于学生理解数学的本质。

二、重视数学思想方法

数学思想是对数学知识理性的、本质的高度抽象与概括的认识。大纲和课标都重视数学思想的渗透，而课标的要求似乎更高，数学思想贯穿新课程的始终。

理科题9：函数f（x）=x cos x2在区间[0，4]上的零点的个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

这是新增知识中函数的零点问题，答案用分类思想：令x cos x2=0得x=0（零点之一）或cosx2=0，x∈[0，4]

当cos x2=0时，x=满足条件的k为0，1，2，3，4，故共有六个零点。

答案认为不宜数形结合，原因是f（x）的图像不易作出。笔者认为，该题将分类讨论与数形结合融为一体：先分类得x=0或cos x2=0，再考查x∈[0，4]的解的个数，转化为函数y=cos t，t∈[0，16]的零点个数，此函数的图像正是最原始、最本质的余弦曲线的一部分，同学们都非常熟悉，如图所示：

五个零点连同x=0共六个零点。此解法将分类讨论、数形结合及化归思想有机融合，揭示数学知识的本质，简洁又自然。

数学思想方法的教学是中学数学教学的重要组成部分，利用好教材中的“思考”、“观察”、“探究”等栏目，加强数学思想方法的教学，有利于学生理解数学的本质。

三、重视数学概念和数学应用

新教材的开篇寄语都有这样的论述：数学是自然的，数学是清楚的，数学是有用的，数学源于自然，用于实践。

理科题2、3、4、7、8、13、14等都是对基本数学概念的考查，数学概念是数学知识结构化的关键，是揭示数学知识本质的关键。新课程每引入一个数学概念，都特别强调它的现实和历史背景，显得自然、亲切，让学生感受到数学知识的发展是水道渠成而不是强加于人，有利于理解数学的本质。

试卷在考查基础知识的同时，也注重对数学背景的运用，比如，文科试卷的第17题，“古希腊毕达歌拉斯学派研究的三角形数”就是给学生一个数学背景，同时让学生对数学文化产生了兴趣。第7题的“保等比数列函数”是一个新的概念，要求学生在此题的背景下，理解“保等比数列函数”的概念，然后再做题。 理科的第10题中，用到了《九章算术》里“开立圆说”的知识背景，第11题中给出了回文数的概念等。这些题型就要求学生在平时的学习中，要增加对数学背景的了解，有助于对数学产生更大的兴趣。理科题10以我国古代数学名著中的问题为素材，题20以现实中的工程施工问题为素材，古今结合，让学生体验数学在解决实际问题中的作用，体会数学的应用价值。

教学中充分利用章头图的背景素材，加强数学的应用意识，不但有利于提高学生的学习兴趣，更有利于他们理解数学的本质。

四、重视教材和考纲

文理科试卷沿袭了“在丰富背景下立意，在贴近教材中设计”的命题风格，两份试卷中以教材的素材为依据，经组合加工、改造整合和延拓提高而成的试题分数都超过了90分。 如文科16题（理科12题）与必修3第15页程序框图如出一辙；文7（理7）题改编于必修5第53页习题2.4A组第3题；文科19题改编于数学2第29页习题A组第5题；理科18题（文科20题）以数学5第44页例2为素材加工而成；文21（理21）题取材于选修1—1第34页例2（也是选修2—1第41页例2）的背景等。试题立足课本且表达方式与语言叙述尽可能与课本保持统一，这种做法可以为中学数学教学实施素质教育创造宽松的环境，为教学提供了“依纲靠本”的良好导向。

试卷紧扣《课程标准》和《考试说明》，整体把握高中数学课程，没有一道试题超纲。凡是《课程标准》已经删除的内容，都没有考查，凡是《课程标准》降低了要求的内容，都没有提高要求考查。如立体几何中的空间距离、圆锥曲线的第二定义、立体几何中的空间角（文科）、排列组合二项式定理（文科）都没有考查，且《课程标准》中有的、课改先行区多数省份考过的“统计案例”，没有列入2012年湖北《考试说明》，高考试卷也没有涉及；而《课程标准》中有的、课改先行区多数省份没有考过的“统计案例柯西不等式”，列入了2012年湖北理科《考试说明》，理科高考试卷考到此内容。

试题源于教材，而又高于教材，以课本为主，充分发挥教材中例题、习题的典型作用，使学生深刻地掌握数学的概念、性质、公式、定理和基本的数学思想方法，以达到举一反三、事半功倍之效，让学生逐步摆脱题海，减轻负担，把知识学活。

2012年高考渐行渐远，透过高考看数学教学，给我们的启示确实很多。高考试卷将基础、综合、应用和创新有机结合，进一步体现知识网络交汇、思想方法交织和能力层次交叉的命题理念，考查全面，多角度、多视点、多层次有效地检测学生的数学素养和数学潜能，较好地体现了“降低起点，立足课本，突出导向”的命题理念，起到了有利于课程改革的导向作用，教学中时时关注新课程理念，诸如重视知识间的联系，重视数学思想，重视数学概念与应用等，引导学生理解数学的本质，全面提高学生的数学素质。