浅论数学直觉思维的作用
时间：2022-07-29 05:44:27
直觉是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知.例如，等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知.而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系.庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之上.感觉不久便会变得无能为力.”由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作为思考的背景是行不通的.
所谓数学直觉思维，就是大脑基于有限的数据资料和知识经验，充分调动一切与问题有关的显意识和潜意识，在敏锐想象和迅速判断的有机结合下，从整体上单刀直入地领悟数学对象的本质，洞察数学结构和关系的一种思维方式.这种思维的实质是对数学对象及其结构、关系的想象和判断.它类似于猜想，表现为灵感、顿悟，就如同古诗中所描述的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.”因此直觉思维是学生学习素养的一个重要的组成部分.
二、数学直觉思维的作用
“数学王子”高斯曾经反复强调，他的数学发现主要来自经验，“证明只是补行的手续”.德国数学家伊恩?斯图加特曾说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西.”美籍匈牙利数学家波利亚也曾说：“直观洞察和逻辑证明是感知真理的两种不同方式……直观的洞察可能远远超前于形式逻辑的证明.”纵观人类科技进步发展史，许多重大的发现都是基于直觉：欧几里得几何学的五个公式就是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿是在散步的路上迸发出了构造四元素的火花；阿基米德在洗澡时发现了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范.因此直觉思维的作用不可忽视.
（一）有利于培养学生的审美意识，让学生学会追求数学美.
数学美是客观存在的.“哪里有数，哪里就有美”.数学学科特点决定了数学美的基本特征：直觉的合理性和高度的抽象性的统一.学生通过发现、认识、体验和运用显现的数学美的形式，直觉地感受到数学美震撼人心的力量，形成强烈的认知冲突，获得身心满足.在百思不得其解之后，一个巧妙的方法跃然而出，显得那么奇特、新颖.内心深处由衷产生无比的喜悦和冲动，刻骨铭心，这就是数学的奇异美；当冗长的陈述，繁杂的关系用数学演绎而出时，学生无不被数学的简洁美所折服；数与形的统一，对称图形、对称等式、对称变换的运用，显得那么和谐生动，给人荡气回肠之感，使学生与数学的统一美、对称美融为一体.
勾股定理c=a+b，这一简单而整齐的形式，表达了一切直角三角形边长之间的关系.
二次展开式的系数、正多面体、圆等都具有对称性，甚至有人感叹：圆是最美的图形.
利用直觉对于数学公式和图形的观察及思考可以培养学生的审美意识，特别是在做数学习题时，数学直觉对于这种美表现得更确切.
例1：在等差数列{a}中，若a+a+a+a=20，求S的值.
分析：等差数列中存在对称美：当i+j=m+n时，a+a=a+a，据此通过审美直觉思维可以发现a+a=a+a=10.所以
S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a）=10×10=100.
这就是利用了直觉思维发现数学美的过程。学生从中获得良好的数学美感，将会直接地形成数学审美直觉能力，并有助于更好地追求数学美.
（二）数学直觉思维有助于更好地认识数学的本质，从而更好地解决问题.
在数学教学过程中，我们常常遇到很多复杂的问题，往往无法一眼看出其解决方法，这时候就需要直觉思维的帮助.直觉能够使我们的认识由现象上升为本质，从而更好地认识数学的本质.
数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自由性、直观性、自发性、不可靠性等特点.迪瓦多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠‘直觉’.”在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败.只有将直觉思维与数学教学有效地结合起来，才能使学生更好地认识数学的本质，从而更好地解决问题.
下面来看一道例题.
例2：求sin20°+cos50°+sin20°?cos50°的值.
刚看到这个题目时我们都无从下笔，题中既不是特殊值，又不能直接运用三角函数的诱导公式.这就要求我们能够抓住数学的本质，联系自己所学的东西，创造性地解决问题.
分析：通过直觉我们可以从题目的结构发现它与sinθ+cosθ=1这一公式接近，运用这一点联系我们所学习的知识进行构造新的三角函数关系.
解：设a=sin20°+cos50°+sin20°?cos50°，
b=sin50°+cos20°+sin50°?cos20°，
从而有a+b=2+sin70°，a-b=--sin70°，
所以a=.
由此我们可以看出直觉思维的作用不可忽视，它对解决数学问题有很大的帮助.在培养数学直觉思维的过程中，无疑加深了对数学本质的认识，从而更好地学习数学.特别是对中学生来说，提高数学直觉思维能力有助于更好地解决数学问题.
（三）数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信心.
现在有不少老师只注重教学生学习的内容而忽视了教学生学习的方法，以至于不少学生面对复杂问题时束手无策.特别是对于学生思维能力的培养，忽视了直觉思维的作用.有不少学生拿到一些题目时，一看是复杂的题型，往往心灰意冷，便再也没有继续做下去的兴趣和信心.其实，这时候直觉思维可以起到很好的作用.
例3：求函数y=+的最小值.
分析与解：该函数很复杂，直接从代数角度无法下手，而配方得y=+.联想到两点的距离公式，它的几何意义是：动点p（x，0）到两定点时函数有最小值即A（1，2），B（-3，-4）的距离和.
当p点在线段AB上，
y=|PA|+|PB|≥|AB|==2.
即y=2.
如果没有直觉思维的帮助，这道题目就会难倒一大片同学.甚至会使得许多同学丧失信心，碰到类似题目没有任何激情再去研究.因此培养直觉思维对数学教学来说无疑是个重点.
在学习三角函数知识后，我们发现有许多题目可以通过这一知识轻松解决.当然这要有直觉的帮助，不然很多看起来困难的题目就很难找到简单的解决方法.
例5：求函数y==（x∈R）的值域.
有不少同学拿到这个题目后就想直接进行移项换元，结果发现很难求出其值域.这时候不少同学就觉得走投无路，心里很着急.
分析：其实我们可以很轻松地发现此函数与万能公式sinθ=结构完全相同，注意到自变量的取值范围与正切函数值域也相同，这样我们就可以很轻松地解决问题.
解：设x=tan，则y=sinθ.所以函数的值域为［-1，1］.
我们从这个例题中可以看出直觉思维对于学生解题的帮助.学生直觉思维能力提高了，驾驭数学题目的能力也就相应提高了.这样就增强了学生学习数学的信心，培养了学习数学的兴趣，从而使得数学教学更好地开展下去.
数学直觉思维还有利于提高学生的思维品质.直觉思维具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或结论，给人以“发散”、“放射”的感觉，一计不成又生一计.因此，加强直觉思维能力的训练，有利于克服思维的单向性及提高思维品质.
