近世代数课程的教学方法浅探

摘 要: 从近世代数的课程意义和课程特点出发,本文作者结合自己的教学实践和经验,阐述了教师如何在课前、课堂、课后三个环节中用有效的教学方法来提高近世代数的教学效率。

关键词: 近世代数 教学方法 教学效率

近世代数课程是师范院校数学专业的一门重要专业基础课,教学实践表明,该课程定理、概念众多,教材习题以证明题为主,具有高度抽象性,学生较难掌握。

1.近世代数的课程意义和课程特点

近世代数主要研究具有代数运算的集合:群、环、域三个代数系,是代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程所必需的一门基础课程。近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位,而且在其它学科中也有广泛的应用,如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点,对其他学科产生了越来越大的影响。此外,近世代数中的等价、划分、同构等思想方法不仅是最重要的数学方法之一,而且是观察和研究自然和社会的普遍采用的方法。

代数系的大部分内容是数学家根据现实中不同的集合和模型抽象创造出的新的理论系统,它具有高度的抽象性和严密的逻辑性。这门课程主要强调的不是计算而是理论的理解和证明完善,对思维能力的要求较高,它需要学习者具有灵活的发散思维和准确的聚合思维,需要敏锐的直觉思维和严谨的逻辑思维,同时也需要构造性的思路和精练的抽象思维。

2.近世代数的课程教学

近世代数的课程意义和抽象的课程特点给教师提出了严峻的挑战。那么我们究竟如何组织教学,才能使学生轻松愉快地学习并掌握该课程的内容,激发学生对该课程的学习兴趣,从而在学习与思考中达到培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力的目的?通过教学实践,我们觉得可以从以下几个方面尝试。

(1)课前准备

教师是教学过程中的组织者和实施者,教学的关键是教师,这是大家的共识,而近世代数是一门抽象并且高度严谨的学科,如果教师在课前不认真备课,势必影响整体的教学效果。我们学校在课程教学中以选用张禾瑞先生编著的文献[1]为主,在多年的实践中,我们感到这是一本比较经典的教材,其内容精简,只是其中有一些不足之处,例题与习题较少,与《高等代数》课程的联系不够紧密,部分数学术语有些陈旧,如正规子群在其中被称为不变子群等,而国内有不少关于近世代数课程方面的教材,有些教材内容丰富,但由于课时和知识面等原因的限制,教材中不可能一一提到所有概念的背景和来源,而且由于学生基础和接收知识能力的差异,没有一本近世代数教材是适合所有大学院校的数学专业的学生的,因此我们要因材施教,对教材进行大胆的处理和取舍,并不是每个定理,每个概念,每一个证明都需要照着课本向学生讲解。同时我们要吸取同类教材的精华,例如,我们可以将文献[1]与文献[2]结合起来使用,应用[1]中的精简内容,配合使用[2]中的例题。这方面可以举很多例子,比如在[1]中讲环的概念时,只举了一个例子,那就是全体整数作成的集合对于数的加法和乘法来说做成一个环,而后者列举了七个环的例,都是而且这些环都是学生曾经接触过的集合,上课时讲授这些例子可以帮助学生更好地理解环的概念。

(2)课堂教学

在课堂教学中,如何充分激发和培养学生的学习兴趣是关键。我们可以从几个方面作尝试。

首先,注重抓住知识的内在联系,培养学生的发散思维。近世代数课程中许多概念、原理具有很多有机的联系,引导学生将它们进行分析比较,既有利于培养举一反三的迁移能力,又能找出联系,抓住关键点,进行提纲挈领的讲解。例如,在群论中,主要是通过子群、正规子群、商群、群同态来研究群的结构,而在环论中,主要是通过子环、理想、商环、环同态来研究环的结构,其知识体系是相似的。群和环都是有代数运算的集合,只是环比群多了一种代数运算,环关于加法构成交换群,关于乘法只能构成半群,两种运算之间有分配律联系起来,因此环关于加法具有交换群的所有性质,关于乘法只有半群的性质。教师在引导学生学习环的时候一定要提醒学生注意环有别于群的特殊性质,例如环对乘法不一定由单位元,每一个非零元未必有逆元,等等。

其次,在课程讲授的过程中,注意培养学生的创造性思维,让学生多问几个为什么,对于一些命题,让学生思考如果讲题设条件减弱命题是否成立,或者考虑如果将结论与题设调换位置,所得命题是否成立。例如,在[1]中第61页习题1证明一个循环群一定是交换群,利用交换群的定义是很容易验证的,我们在讲授过程中主要是要提问,让学生考虑:“那交换群是不是一定是循环群呢?”“如果是,那该怎么证明呢?如果不是,能不能找出反例呢?”又如习题4假定G是循环群,G与H同态,证明H是循环群,那我们可以提问学生:“如果G与H同态,H是循环群,那么G是不是一定是循环群呢?”“如果G与H都是循环群,那么G与H之间是不是一定存在同态满射呢?”诸如此类的反问逆推,引导学生主动去发问。当然在提出问题后,教师不能立即自己给出答案,要给学生思考的时间,让学生主动去发现,这样才能起到事半功倍的效果。在进行习题证明讲解时,教师也要引导学生用尽可能用多种方法进行,以灵活运用所学知识。

再次,在实际教学中,将理论与应用相结合激发学生的兴趣。近世代数中的许多概念都是由于直接或间接刻画新的几何量和物理量的需要而出现的。我们可以尽量调动学生已有的各种数学知识,举出丰富多彩的具体实例,揭示概念的本质特征,在形象与抽象之间架起一座桥梁,使学生不是被动地接受这些概念,而是以自身已有的知识和经验为基础主动地构建这些概念,即促进学生知识的正向迁移。学生常误以为学习近世代数课程没有用,有时问老师时,老师也只是以培养学生的逻辑思维概括这门课程的意义,其实不然。例如,群论的研究从变换群开始,抽象群的概念也是从变换群的概念发展来的,而Cayley定理说明群概念的外延从同构意义上来说并不比变换群的来得大。因此在讲授群的概念时,教师可以讲授这样的例:设V是域F上n维线性空间,则V的所有可逆的线性变换对乘法组成群,它同构于F上全体n阶可逆方阵组成的乘法群,这是群论与高等代数的联系,考虑平面上正n边形(n≥3)的全体对称的集合,它包含n个旋转和n个反射(沿n条不同的对称轴),很容易看出这个集合对于变换的乘法,即变换的连续施加来说组成一个群,这是群论与几何学的联系,而物理学中在讨论晶体类型的对称性变换过程中,晶体学家就是把晶体的全体对称性变换作为群来进行研究的,这又是群论与物理学的联系,等等。

在讲授课程内容时,教师可穿插一些名人趣事小传等同样可以激发学生的学习兴趣。例如,讲授著名的Cayley定理:每一个群都同构与一个变换群时,教师可以简单介绍Cayley的生平小传和他对数学的贡献。在文献[1]中对于交换群只有一个简单的定义,没有详述,其实交换群也叫Abel群,是由挪威数学家N.H.Abel发现的,所以以Abel命名,Abel在19岁时就解决了一个让著名数学家烦恼了数百年的难题,证明了虽然一元二次、三次甚至四次方程都有求根公式,但是对于一般的五次方程却不存在这样的求根公式,诸如此类的名人轶事在讲授相对应的课程内容时让学生了解,可以增强学生探索相关内容的欲望。

(3)教学后记

备课、上课和作业批改是教师教学中几个重要的环节,而关键的环节是上课。我们都有这种体验,常常备课时并未想到的或并未思考的问题,在上课的过程中常常就出现了,这也就说明了教学后记的必要性。经常的一些创造性思维也通过教学后记得以升华,从而更加深刻。

对于不同的学生,教学方法不是一成不变的,教师也应该不断地探索新的方法,让学生更好地掌握代数这门课程,切实提高教学效率。

参考文献:

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.

[2]朱平天,李伯,邹园.近世代数[M].北京:科学出版社,2001.

[3]韩士安,林磊.近世代数[M].北京:科学出版社,2004.

[4]杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2003.