拼接巧处理,找外接球的球心

【摘要】立体几何中求有关多面体的外接球的问题越来越受关注，难度也较大，学生不容易建立空间的线面关系，所以我想帮助学生准确找到他们之间的关系，仔细研究了如下几题，发现我们可以采用拼接的方法，使得问题简单化.

【关键词】立体几何;拼接;方法

1.已知正方体的边长为a，求外接球的半径.

讲解：外接球就是指正方体的8个顶点都在同一个球面上，即球心到8个顶点的距离相等，所以球心在什么位置？

学生思考后回答：在正方体体的中心，师问：是不是体对角线的中心？

在黑板上画图帮助学生理解，找到正方体棱长和球半径的关系即直径等于体对角线长，也就是3a=2R，得到R=32a.再应用几何画板给予充分的演示，使学生充分理解这一问题.

2.已知长方体的三个边长分别为a，b，c，求外接球的半径.

学生思考后容易得出，长方体的外接球球心也在体对角线的中点处，找到棱长与直径的关系即直径等于体对角线长，也就是a2+b2+c2=2R，得到R=a2+b2+c22.

总结：找一个多面体的外接球主要是确定球心的位置即空间一个点到多面体各个顶点的距离都相等，那么这个点就是球心，球半径为球心到任何一个顶点的距离.

3.已知一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为3，4，5，求它的外接球的表面积.

分析：要求外接球的表面积得先求外接球的半径，具体而言就是找球心的位置.

对于这样一个三棱锥学生没法找，我们就原把它拼接成长方体，长方体的外接球和这个三棱锥的外接球是同一个球，这样问题就迎刃而解了.

4.一个各棱长都为2的四面体的四个顶点都在同一球面上，求该球的表面积.

分析：对于这样一个正四面体学生想不来，更别说是找外接球的球心了，我们利用模型让学生理解这样的正四面体是从正方体中切出来的，这样的话这个正四面体的外接球其实就是正方体的外接球，容易解决问题.课堂上为了让学生能准确理解这一问题，我自己做了一个实体模型，让学生看着我来切去四个三棱锥，变成一个正四面体，直接观察到正四面体的棱长为正方体的面对角线的长.再在黑板上画出直观图，再次让学生证实这一点.假设正四面体的棱长为a，则正方体的边长为22a，得到正方体的体对角线即外接球的直径长为62a.

5.三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求此球的表面积.

分析：画出几何体的直观图，也可以在拼接一个等大的三棱柱，变成一个四棱柱.再次明确我们要找的是外接球的球心即在空间找一个到各个顶点的距离都相等的点，我们这样找，先找到上底面的3个顶点的距离相等的点，分析上底面，经过拼接后底面变成一个角为60°的菱形，是两个等边三角形拼接而来的，容易知道DA=DB=DC，在棱DD1上任取一点E，由图明显可得，ADE≌BDE≌CDE，所以到顶点A，B，C距离相等的点在棱DD1上，同理可得到顶点A1，B1，C1距离相等的点也在棱DD1上，故球心是棱DD1的中点，半径为DB=5.

多面体的外接球是个立体几何中的难点问题，通过拼接成熟悉的正方体和长方体能简化问题，使得学生能快速准确的解答某些问题，但是对于角复杂的一些题目还是要根据立体几何中的定理进行推理论证.