经济数量分析中的常用数学方法

一、几个常用函数

1.需求函数。在商品市场中，商品的价格是影响消费者对该商品的需求的主要因素，即需求量可看成是价格的函数：Q＝f(p)，Q表示需求量，p表示价格，称为需求函数。需求函数都是递减函数，即商品的价格下降，需求量增加，反之商品价格上涨，需求量减少。

2.总收益函数。某商品的价格为p，相应的需求量为Q，则出售该商品的总收益为Qp，又需求函数，其反函数，商品的总收益可看成是其需求量Q(或价格p)的函数:或称为总收益函数。

3.供给函数。在考察的时间范围内，生产要素的成本以及技术水平等因素都没有发生变化，这时可把某种商品的供给量Q看成是其价格p的函数:称为供给函数。

二、边际与弹性

1.边际收益。设某种商品的总收益可以为需求量Q的函数，即，平均收益RA就是单位需求量的收益，于是有，可见，需求函数也可以称为平均收益函数，就是说价格P可以看成是从需求量Q获得的平均收益。

边际收益就是总收益对Q的导数，即

2.边际成本。成本是指生产某总产品时消耗生产要素所支付的所有费用，而总成本则是生产一定量产品所需求成本总额，它是由固定成本（即在一定限度内不随产量的变动而变化的费用）和可变成本（即随产量变动而变化的费用）两部分组成。

设某种产品的产量为Q，于是我们可以把总成本看成是产量Q的产量的函数，即，最简单的成本函数有这样几种形式：

(1),其中c为固定成本;pn(Q)为可变成本，它是Q的一个n次多项式。特别当n=1时，即这时总成本为线形函数，其中a表示增加单位产量时所增加的单位成本；

(2)

(3)这里的a,b,c,d均为正常数。

由平均定义可知,平均成本KA,就是指单位产品的成本,即

根据边际的定义，边际成本KM可以用总成本KT对Q的导数来表示，即

例如，当总成本为时，平均成本为而边际成本为。

由上面的讨论可以看出，边际实际上刻画了一个经济的变量y对另一个经济变量x的绝对变化率。在实际过程中讨论对x变动的敏感程度时，往往离不开计量单位（即量纲），这样就很难比较使用不同的量纲时y对x的敏感程度。因此，我们必须采用不依赖与任何单位的计量法，这就是弹性。在经济分析中，弹性表示一个经济y对另一个经济变量x微小的百分比变动所作的反应。严格地讲，就是当自变量x的变动趋向零时，x的微小变化的相对变化率去除由它引起的因变量y的相对变化率所得到的比值的极限。在数学上，函数的弹性可以用导数与平均函数的比值来表示，即,可见，在经济弹性又可以理解为边际函数与平均函数之比。

设需求函数为，则需求量Q对于价格p的弹性为

例如，当时，有而当时，有

这里，需求量Q对于价格p的弹性为-bp，说明了价格增加1%时，需求量减少bp%。

对于一般的可导函数，则表示当自变量x变化1%时,函数f(x)变化的百分数。例如，当f(x)=c时，由f’(x)=c，得到=0即常数函数的弹性为零。

三、总量函数

在经济分析中，与边际概念相应的是总量函数的概念，例如，边际成本与总成本，边际收益与总收益，边际产出与总产出等。

设边际函数（即总量函数的变化）为f(x)，求在区间[a,b]上的总量F。这个问题我们可以用一元积分学中的微分法来解决；

分割区间[a,b]，设其中任一小区间[x,x+dx]上的总量为，由于的线性主要部分

故有这就是说，总量边际函数从a到b的定积分。

例如，某种商品的边际收益为RM(Q)，则销售N个单位时的总收益RT可以表示为

又如，某种商品的边际成本为KM(Q)，则从产量a到b的总成本KT可以表示为

四、应用举例

例1 生产某种产品的总成本函数KT(单位:元)是其产量Q（单位：t）的函数。试讨论

(1)当产量Q=100t时,总成本,平均成本和边际成本各是多少？

(2)当产量Q为多少时,平均成本最小？最小平均成本是多少？

解 设平均成本和边际成本分别为卡KA(Q)和KM(Q)，则于是，有

(1)（元）（元）（元）

(2)由，解得Q=200，且，即当Q=200t时，平均成本最小，最小值为（元）

例2 设某种产品需求量Q是价格p的函数:求需求量Q对于价格p的弹性。

解 由

根据弹性的定义，有

例3 设生产某种产品的固定成本为60万元，每周生产Q台时，边际成本为KM(Q)=0.6Q-2（万元）。设该产品的每台销售价格为10万元，试讨论每周生产多少台时所获得的总利润最大。

解设总成本,总收益和总利润分别为和,则有其中总成本KT(Q)可由边际成本KM(Q)通过不定积分求出;

考虑到Q=0时，企业仍需支付固定成本60万元，故KT(Q)=60，代入上式得到C=60，于是

而总收益RT=10Q,因此总利润为

当C’(Q)=12-0.6Q,令C’(Q)=0解得Q=20，并且可知当产量为20台时，总利润达到最大为60万元。

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