基于 UG 的斜齿轮造型设计

【摘 要】本文重点介绍了如何根据齿轮加工方式确定了齿槽的过渡曲线参数方程。为了实现各段曲线参数方程的连续性，根据齿轮的实际情况确定了各段曲线连接端点的取值范围。并结合 UG 软件的相关特征操作实现斜齿轮的三维精确造型。

【关键词】斜齿轮；造型；UG

机械传动中，渐开线斜齿轮的应用相当广泛。由于齿廓曲线比较复杂，尤其是齿根部分的过渡曲线与齿轮的加工方式有关，所形成的过渡曲线也不一样。为了得到齿廓曲线，必须通过数学模型来描述齿廓的各段曲线。

1 齿廓曲线的数学表达

斜齿轮端面齿廓曲线包括渐开线、齿根过渡曲线、齿根圆弧和齿顶圆弧。

1.1 齿廓渐开线的数学表达

斜齿轮端面渐开线的生成方法与直齿圆柱齿轮基本相同。不同之处在于斜齿轮法面模数 mn、法面 分度圆压力角 α、法面齿顶高系数 h*an和法面顶隙端系数 c*an为标准值，而齿廓曲线方程中用到的是端面压力角 αt与端面模数 mt。

建立圆的渐开线参数方程：

x=rbcosθ+rbθsinθy=rbsinθ-rbθcosθ

式中：rb为基圆的半径；θ 为发生线与基圆的接触点A 与 B 之间所对应的圆心角。

1.2 齿廓过渡曲线的数学表达

过渡曲线与齿轮加工方式有关，但其原理基本相同。标准齿条刀具顶部比普通齿条多出一段 c*m，用于被加工齿轮的齿根部分切出齿顶间隙。

现以齿条形刀具参数为例进行分析，刀具齿廓的顶部有两个圆角，Cp是圆角的圆心，圆角半径等于 rp。刀具各参数间具有以下关系：

rp=■a=（h■■■+c*）m-rpb=■+h■■mtanα+rpcosα

式中：m 为齿条的模数；a为点 Cp至中线的距离；b为点 Cp至齿形中心线的距离；α 为齿条的压力角也就是被加工齿轮的分度圆压力角；h*a为齿顶高系数；c*为顶隙系数；rp为圆角半径。

图1 渐开线的形成

被加工齿轮齿廓的渐开线部分由刀具的斜直线部分切出，而齿根过渡曲线则由刀具的圆角部分切出。如图 2所示，加工过程中刀具的加工节线与齿轮的节圆相切纯滚，刀具圆角的圆心将形成延伸渐开线，因此齿轮的过渡曲线是该延伸渐开线的等距曲线。P 点是节点，n-n 是刀具圆角与过渡曲线接触点的公法线，可求得延伸渐开线等距曲线，即齿根过渡曲线的参数方程为：齿根过渡曲线的参数方程为：

x1=rsinφ-（■+rp）cos（α′-φ）y1=rcosφ-（■+rp）sin（α′-φ）φ=■

式中：α'为公法线与刀具加工节线间的夹角；r 为齿轮分度圆半径；φ 为角度参变量。

由于刀具的圆角部分和与其连接的两段直线相切，所以当刀具圆角与齿根过渡曲线刚开始接触时，M 垂直于刀具的齿侧直线，此时 n-n 与啮合线重合，α'等于齿条与齿轮的分度圆压力角 α；当齿条齿轮转动到 α'=π/2 时，齿条形刀具的顶部直线段与齿根过渡曲线末端接触，然后由该段直线切出齿根圆弧。由此可知，α'∈[α，π/2]。

图2 齿根过渡曲线

1.3 齿槽曲线段间的连接

实现齿轮参数化建模，必须用表达式将齿槽各段曲线精确描述且曲线连接不能有歧义。

1.3.1 渐开线

由于要求与过渡曲线极大值点及给定的一半径略大于齿顶圆半径的圆弧相接。结合渐开线的性质：

θF=tanαF-αF，根据图 2 所示的原理，假设 B 点为过渡曲线极大值点，并且假设 K 点为与渐开线相接的略大于齿顶圆半径的点。最终可以确定渐开线的取值范围：θ∈[tanαB，tanαK]。曲线 1 是直接由式（1）绘出的渐开线，曲线旋转 θ1后得到曲线 2。根据对称性可列出另一半渐开线的方程，得到曲线 2 关于 X 轴对称的渐开线：

θink=tanα-αθ1=π/2-θink

1.3.2 过渡曲线

如图 3 所示，曲线3直接由式（3）绘出。曲线旋转 θ2后得曲线 4。利用对称性可列出关于 X 轴对称的另一段过渡曲线的方程，并绘出其曲线。根据过渡曲线的取值范围可以得到极大值点B（xmax，ymax）与极小值点 A（xmin，ymin）。由极值点可确定：

φ1 =arctan（■） φ2 =arctan（■）

θ2=φ1-θ1

1.3.3 齿根圆弧

如图 3 所示，通过曲线3的极小值点A（xmin，ymin）与 X 轴的夹角 φ2，以及曲线 3 变换到曲线 4 所旋转的角度 θ2，可以确定齿根圆弧的取值范围：

xf =rf cosθ3yf =rf sinθ3 θ3∈[-（φ1-θ1），φ2-θ2]

图3 曲线的旋转

（上接第247页）2 造型设计

2.1 造型设计步骤

渐开线斜齿轮造型设计的关键是齿轮（包括齿廓）相关参数的建立，在 UG 中设计过程如下：

（1）利用表达式建立相互关联的表达式；

（2）使用基本曲线功能中的规律曲线选项，通过方程式，并利用已经建立的表达式绘制出渐开线曲线、过渡曲线、齿根圆弧、略大于齿顶圆弧，从而形成首尾相接的单个齿槽线串；

（3）生成与螺旋角相关联的螺旋线；

（4）进入草图，以齿根圆弧的圆心画出齿顶圆，一定要用表达式来定义齿顶圆的直径；

（5）利用相关的特征操作（拉伸、沿引导线扫描、沿圆周阵列）完成渐开线齿轮的三维建模。

初始化齿轮如图 4所示。

图4 齿轮模型

2.2 表达式的生成

对圆柱斜齿轮而言，其端面是渐开线，符合齿廓啮合基本定律，即可改变齿数 z、法面模数 mn、压力角 α、螺旋角 β 等常用参数，可以得到不同的圆柱斜齿轮的三维模型。建立表达式可以用以下两种方式：①选择 Tools>Expressions，直接输入表达式。②建立一个文件名称用英文字母或数字表示的纯文本文档，并输入相关的表达式，保存并关闭后更改文件扩展名为.exp；然后在UG中选Tools>Expressions>Import，输入建立.exp 文件。

在建立对基本参数赋初值的表达式时采用第一种方式，所建立表达式如下：

Z=25 //齿数

mn=4 //法面模数

alpha=20 //法面压力角

beta=12 / /螺旋角

ha=l ∥法面齿顶高系数

c=0.25 //法面顶隙系数

h=20 //齿轮厚度

2.3 实现

斜齿轮的造型实现要求齿轮能够实现在其设计要求发生改变时，它的结构尺寸也相应地改变以满足新的设计需要。为此，只需要将上述所建立的齿轮实体模型的相关特征参数进行更改，就可以生成各种相关参数的齿轮三维模型。

3 结论

运用 UG 进行齿轮精确建模时，齿廓曲线的数学表达十分重要。借助 UG 中的规律曲线功能可以直接生成齿廓曲线，无需对其进行修剪、变换，对齿廓曲线实现了完全参数化设计。由于采用了 UG 内部表达式工具，避免了编程处理，通用性比较强。齿轮精确造型设计对齿轮的应力分析、干涉检验、数控仿真等都有实际意义。

【参考文献】

[1]孙桓，陈作模，葛文杰.机械原理[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]白剑锋，贺靠团，黄永玲，侯宝义.UG 在渐开线斜齿轮参数化设计中的应用[J].机械设计与制造，2006（7）：71-73.

[3]江洪，郦祥林，李春表，等.UG5.0典型实例解析[M].北京：机械工业出版社，2007.