均匀化轻质拓扑优化研究

由于组分材料之间可以相互补充，复合材料具有传统材料所不具备的优良性能，如轻质、比强度高、比模量大、可设计性等优点，因而广泛地应用于航天、航空、汽车、建筑、化工和体育器材等领域。程耿东和Olhoff［1］最先提出将材料的细观结构运用到结构设计和优化问题中，并解决了弹性薄板厚度优化问题。复合材料微结构拓扑优化设计理论是在20世纪90年代由Sigmund［2］提出的，他采用逆均匀化方法优化微结构，在数值研究和实验验证上均获得成功，实现了负泊松比、零膨胀系数［3］等材料结构优化设计。国内袁振和吴长春［4］研究了周期性线性极端弹性性能的复合材料优化设计。刘书田等［5］进行了具有负泊松比性能的复合材料优化设计。赵康等［6］则基于拓扑描述函数研究了特定性能复合材料优化设计问题。张卫红等［7］在给定材料体积分数条件下进行具有极端热传导性能复合材料的优化设计。刘书田和曹先凡［8］研究了具有零膨胀性能的复合材料优化设计。但是优化过程中往往会出现优化结果对网格敏感或出现数值不稳定现象。在这些研究基础上，本文以渐进均匀化方法预测的复合材料宏观弹性性能为优化目标进行其微观结构拓扑结构的优化，采用变密度模型描述问题，优化准则法进行求解，运用Matlab汇编语言实现优化过程，并加入敏度过滤技术来控制优化过程出现的数值不稳定问题，讨论不同敏度过滤半径、不同的网格密度以及不同惩罚因子对最终优化构型的影响，选择最适用的参数建立优化求解模型。并将得到的优化模型应用于具有周期性孔型的冲孔板设计，以满足不同的工作环境和性能需求，实现了轻质高强设计。

1渐进均匀化理论及其离散形

均匀化方法是针对周期性分布的复合材料的，首先应假定在宏观上非均匀的复合材料在细观尺度上呈周期性变化，如图1所示。且细观单胞尺度Y相对于宏观结构尺度X是一个很小的量μ，即Y=X/μ(0＜μ＜1)。图中Ω表示宏观区域，结构体受到体积力f，结构体的边界Γt上受到表面力t，Γu为位移被固定的边界。为了方便对均匀化方法进行数值计算，我们将其从张量形式转化成离散形式。宏观有效弹性常数计算式(2)和χkli的求解式(3)经有限元离散后为中:上标e表示单胞的有限元单元;［D］e是单元材料弹性性能矩阵;［B］e是单元的几何矩阵;［χkl］e是相对应单元节点的位移矩阵。

2微结构拓扑优化模型

本文对微结构进行有限元离散后，采用各向同性惩罚(SIMP)材料插值模型，对每个单元设定一个表示单元密度的连续变量x，以x为设计变量，且x∈［0，1］。则单元弹性矩阵与设计变量的关系为对上式参考复合函数微分性质以及周期性函的性质，得到均匀化等效弹性模量的计算公式，具推导过程见文献［9，10］。

3数值算例

微结构的拓扑优化设计区域为一正方形，单胞的三种边界条件如图2所示。实体材料的弹性模量E0=1000，泊松比v=0.3;材料为正交各向异性设计类型选取为平面应变问题，选用正方形四节等参单元。1)过滤半径对优化结构的影响优化目标为maxD11时，即取w=［1，0，0］，网格为20×20，材料体积约束取0.5，取不同的过滤半径进行灵敏度过滤的结果如图3所示。由图3可以看出材料呈水平纤维状，得到的结构水平方向的抗拉性能最优。由迭代收敛曲线及优化结果可以看出，选取过滤半径较小(f=1.4，微观单元边长为1)时，优化结果的棋盘格式有所改善但未完全消除;选取过滤半径f=2.0时，其优化结果最好且收敛速度快;选取过滤半径较大(f=5.0)时，优化构型出现模糊边界，且最优抗拉性能不及f=2.0时得到的最优解。通过引入灵敏度过滤技术棋盘格式得到了抑制，说明本文选用的敏度过滤法可以很好的消除网格依赖缺陷，优化构型。2)网格密度对优化结果的影响优化目标为maxD66，即取w=［0，0，1］，材料体积约束取0.5，网格划分分别取20×20、30×30和40×40得到的优化结果如图4所示。由图4可看出材料沿45°分布，可充分发挥材料的抗剪切能力，即材料获得最大剪切模量。不同的网格密度所得到的优化构型与最大剪切模量基本相等，说明网格疏密对最终拓扑结构的影响不大。网格细化对于得到的最优性能稍微有所提高但影响也不是很大。所以采用20×20的网格就可得到理想的优化结果，且运算时间较短。本文得到的优化构型与文献［11］采用MMA算法计算优化模型所得构型相比，材料分布规律基本相同。)惩罚因子对优化结果的影响优化目标为maxD66，惩罚因子p分别为2、3、4、5和6时，优化迭代曲线如图5所示，分别迭代为44、23、24、22和24步。由图5可知，随着惩罚因子的增加，目标函数收敛加快，但是最优值也随之减小。通过比较分析，惩罚因子为3时，即可加快收敛速度，又能得到较理想的目标函数最优值。本文中目标函数随惩罚因子变化的趋势与文献［13］中最刚微结构优化设计中趋势相似。

4周期性冲孔板设计

冲孔板广泛应用于建筑、机械等领域，如消音设备、制冷设备、音箱、滤清设备等，因而其种类繁多、形状各异。本文将弹性性能作为优化目标对铝合金冲孔板孔型(材料分布)进行设计，使其在不同工况下具有能发挥材料最大潜力的结构。有2A11铝合金(E=0.7×105MPa，ν=0.33)冲孔板孔洞百分比为40%，优化得到冲孔板的双向抗拉性能成一定比例w(w1=max0.5D11+0.5D22，图6a));w2=max0.6D11+0.4D22，图6b)以及最大剪切模量G(图6c))的构型及其优化迭代次数收敛曲线。双向均衡拉伸模量相等时，材料平均分布;当水平方向的比重增加时，材料在水平方向分布量也之增多。通过本文设计的优化模型，在保证材料限定用量的情况下，得到了具有期望力学性能的构件。

5结论

本文以渐进均匀化理论为基础，结合有限元理论，设计了以宏观弹性模量为目标的复合材料微观结构拓扑优化的数学模型。并运用Matlab汇编语言实现优化计算，进行最优性能复合材料的微结构设计。通过引入灵敏度过滤技术来控制数值不稳定从而抑制棋盘格式的产生，并通过试验得到适用该模型且结果优收敛快的敏度过滤半径值，经算例验证该方法可行。根据不同网格密度计算得到的优化构型，可知该优化模型下网格疏密对最终拓扑结构的影响不大。选用不同的惩罚因子进行优化，并通过目标函数迭代曲线分析选取适当的惩罚因子，以得到较好的收敛速度和最优值。对具有不同性能要求的材料微结构进行优化，得到了期望的构型。以该优化模型为基础，对冲孔板的构型进行设计，得到了不同要求下能发挥材料最大潜力的结构，以节约材料，降低生产成本,