时间：2022-07-20 12:29:14
我国汉代数学家赵爽在他所著的《勾股圆方图》中，利用图1（人们称它为“赵爽弦图”）所示的拼图，简捷巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”是证明勾股定理最著名的证法之一，充分体现了我国古代的数学文明和数学文化，因此被选为第24届国际数学家大会的会标.除图1外，图2表示另一种弦图.
利用图1并结合完全平方公式也可以这样证明勾股定理：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则中间小正方形的边长为a-b，根据四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积等于外面大正方形的面积，得
无论是利用图1还是利用图2证明勾股定理，都用到了图形面积关系之间的关系.由此可见，勾股定理与面积的缘分还真不浅呢！
一、单一“弦图”型
例1 （1）第24届国际数学家大会于2002年8月20日在北京举行，大会的会标如图3所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.
（2）现有一张长为6.5 cm，宽为2 cm的矩形纸片，如图4所示.请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求在图3画出分割线，再画出拼成的正方形，并标明相应的数据）.
解析 （1）可设图3中每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，则中间的小正方形的边长为a-b，其面积为（a-b）2.依题意，得a+b=5，a2+b2=13.
所以（a+b）2=a2+b2+2ab=13+2ab=25，
所以2ab=12，
所以（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1.
即中间小正方形的面积为1.
（2）给出的矩形纸片的面积为6.5×2=13 （cm2），其值正好与（1）中大正方形的面积相等.而通过计算得到小正方形的面积为1，因而小正方形的边长为1.受此启发，分割成的直角三角形的边长应满足a-b=1 （cm）.而矩形纸片的宽为2 cm，故长直角边可尝试为3 cm.因而可得图5的拼法.
说明：问题（1）的解答对问题（2）具有启示和铺垫的作用，要注意从所给的数据中发现前后两问之间的联系，进而找到分割方法.
二、复合“弦图”型
例2 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图6）.图7由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1+S
说明：本题中的“弦图”具有一定的隐蔽性，需要添加辅助线才能将其找出.找出“弦图”后，可以方便地求出矩形的长和宽，从而顺利地求出面积.