透视时去除现象 转化为知识本质

[摘 要] 在我们学习与研究中考试题时看到了大量的“综合与实践应用”考题，这些考题的题型新颖别致，能很好地考查考生的综合应用能力. 在中考总复习时，从学生能力培养的视角，要将“综合与实践应用”贯穿于总复习的全过程，对此我们进行了有益的尝试.

[关键词] 中考复习；综合与实践

问题的提出

《义务教育数学课程标准（2011版）》在对《义务教育数学课程标准（实验版）》修订时，重点突出了“实践与综合应用”，在每个学段，每个学期都要开展“实践与综合应用”，并要求教材编写者在教材编写时也要把“实践与综合应用”写入教材中.

在《安徽省初中毕业学业考试纲要》中，作为“知识与技能”中的“4.实践与综合应用”，与“1.数与代数；2.空间与图形；3.统计与概率”并列出现. 综观课改后的安徽省中考数学试题，我们可以看到，每年的试题中都有“实践与综合应用”类试题，而且情境新颖、立意高远，实现了对学生思维能力的考查，并起到了很好的效果.

“实践与综合应用”是安徽省中考试卷考查的重点，也是考生们普遍反映的难点. 在平时的教学中我们也可以观察到，对于一些基础知识直接应用的常规问题，学生解决起来得心应手，而对于带有“实践与综合应用”的问题，学生不是无从下手，就是思考时欠周到，解答的不足暴露无遗，还有的同学干脆不做，叫做“做也不对，不如不做”. 因此，在中考复习时，可以说，这个板块是总复习需重点解决的问题.

我们在复习过程中，始终把“实践与综合应用”作为教学的重点，随着复习的推进，根据复习的进程，我们可以采取以下复习策略.

中考复习方式与安排

1. 紧跟知识点复习

我们在制定中考复习计划时，在复习内容中就特地将“实践与综合应用”作出了明确的时间计划、内容安排. 不论是在“数与代数”的复习中，还是在“空间与图形”“统计与概率”的复习中，我们总是根据学生的学习情况，选择一些经典的“实践与综合应用”试题，帮助学生养成分析习惯，培养其解决此类问题的思想方法，逐步形成解决此类问题的能力. 同时，再与此类问题经常见面时，也可以消除恐惧心理，达到敢做就有方法的效果.

我们一般都是先呈现问题，给足时间让学生思考，教师在学生思考时巡视，从中了解学生解答相关问题时的概况，根据学生的状况进行讲解；或先布置成作业，让学生带回家完成，批改后再进行有重点、有针对性的讲评.

学与教 学生进行尝试后，我们应重点强调要读懂：“将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位. 对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都由前一位数字进行如上操作得到.”它是操作的规则，按此规则尝试操作几次，就有362486，此刻需要一颗敏感的心，同时也需要一个信念，那就是：这类问题的解决一定是有规律的. 也就是说，在第2个“6”出现时，此种操作的规律就出现了，接下来就是细心计算了.

学与教 五角星对同学们来说是一个再熟悉不过的图形，因此在解答此题时恰恰形成了负面的心理定式. 会解的同学是将图2与图3综合起来，克服已有的五角星的心理定式影响，画出必要的辅助，利用多边形的内角和，轻松搞定.

此题考查圆心角的度数，以此为基础来判断或计算相应角的度数，才能求出“梅花图案中的五角星的五个锐角”. 此题的目的在于帮助学生认真审题，将文字与图形对照起来，并综合到图3中；此题易犯经验主义错误，“梅花图案中的五角星”，那不是一般的五角星，没有看出此门道的学生，必然会丢分. 这是一道很好的“实践与综合应用”类试题. 从此题的解答中，学生会更明白“知者随事而制”.

解答？摇 由数字规律可知，第四个数是13，设第五个数为x，则x-13=8，解得x=21，即第五个数为21，答案为21.

学与教 我们在课堂教学中观察到，有些宁愿在那“坐而论道”，也不愿亲自动手尝试一下. 其实，对“1，3，7，13”来说，后一个数减去前一个数的差是：“2，4，6” ，再结合“二阶等差数列”等差数列的定义，“6”之后一定是“8”，从而应填“21” . 在得到答案后，我们与同学们交流：

（1）认真理解题意，动手书写尝试.

（2）此类题目也是中考命题者青睐的一种类型――阅读理解型. 通过此题，同学们也可以总结阅读理解类试题的特点，以及今后再遇上的话如何去解答.

本题是数字变化规律类问题，关键是确定二阶等差数列的公差为2. 解答此题时，要求学生耐住性子，按部就班地书写，就可以达到需要的答案. 这也是学生在解答“综合与实践应用”类问题时必须要具备的心理素质、思维习惯、学习习惯，且这些必须在平时养成、练就，考试时才不会慌乱.

例5？摇 给定ABC的三个顶点和它内部的七个点，且这十个点中的任意三点均不共线，则以这十个点为顶点能将ABC分割为互不重叠的小三角形的个数为______.

学与教 某些学生通过画图能够画出小三角形的个数，但学生画好后，就不再作深入的抽象思考，在此，我们可以引导学生：汇聚在ABC内每一点的诸角之和为360°；会聚在A，B，C的诸角之和为180°，所以，所有小三角形的内角和为360°×7+180°=2700°. 又由于每个三角形的内角和为180°，故小三角形的个数为2700°÷180°=15（个）. 通过此题的解答，学生会从具体逐步向抽象发展，并上升为一般的思维方式.

学与教 观察学生的解答，我们发现，学生在解答此题时，主要还是审题问题，对题目中“若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止”看不出隐藏在其中的解题关键点. 而对这个关键点进行挖掘，则成为解题突破口. 对于此题，借助第二次操作的图形，能很容易地求出a的值.

学与教 从学生解答的情况来看，不同层次的学生都下得了手，都有答案，差异是答案的全面情况与否. 对于数学学习优秀的同学，他们想得比较全面，而且长期养成的严谨习惯会在解答此题时发挥得淋漓尽致. 数学相对薄弱的同学会答案不全，思考不全面，因此，对于这部分同学，对于分类讨论，还需进一步强化、提升.

同时，应提示学生，为了很好地解答此题，除了题目提供的两个图外，实际上最好还要自己画两个图，争取不要因图“害”子，在给出的图形画到最后连自己都看不清.

另外，还要提示同学，要关注图5和图6存在两个不同，我们既要从图5中得到启示，辅助解答第二问，但也要注意到这两个三角形的差异，其实它们是一副三角板的两块，同时三个顶点的标志也不同，图5中的点P相对来说是一定点；而图6中的P点却是动点.

这些多变的因素给予了同学们广阔的思考空间，毫不夸张地讲，这是一道中档的小综合题，而且也要求“明者因时而变”.

2. 专题讲练，着重培养方法，形成能力

“实践与综合应用”类试题多以新问题和实际任务为素材，以能力立意、分层设问、逐步深入、综合运用知识去解决问题，对数学思考的水平和解决问题的策略和方法要求较高. 除了在知识点复习将一些基本的小问题贯穿进去之外，我们还安排了专题复习时间，重点是让学生学习、探究一些综合性问题如何解决，帮助学生积累解决此类问题的经验.

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.

在此基础上进行拓展：以三角形中有1个好角为基础；在应用提升部分又提出挑战，拓展到三角形中有2个好角，这势必要让学生思考为什么会出现两个好角. 思维的跨度即刻加大，很好地考查了学生的能力；最后进一步拓展到三角形中有3个好角.

本题在此份试卷中是一道压轴题，特别关注初中与高中知识的衔接，因此，在初中数学教学中，我们初中数学老师也应本着为了学生终身发展的高度，有机地向学生渗透相关的高中必备知识、方法、思想等.

用一道阅读理解题花样翻新、层层递进，很好地考查了学生的思维能力. 特别是对学生的归纳能力、建构能力、应变能力，都有不同程度的考查.

回归教育本真，以发展思维、提升能力为根本，不被题目牵着鼻子走，以不变应万变，这才是教师教学的最终教学目标.

学与教 对于本题，学生在解决的过程局限于对字面意思的理解，感到解答的难度有点大. 其实，（1）半等角点的实质是角平分线，可进一步引申为轴对称，学生在审题时要能去除半等角的现象，抓住轴对称这个本质核心；（2）基础问题的解决积累方法，即从具体问题着手，形成解决此类问题的方法，用此方法就可以逐步解答复杂问题；在本题的（1）中，学生要是抓住了对称性，再结合正方形的对称性，这个半等角点P一定是在正方形的对角线上；（3）指导学生在做中学习，在做中思考，但不能不动手.

3. 在综合模拟中融入综合训练

除了上述两个过程中，我们坚持突出“实践与综合应用”外，我们在每次的综合模拟中都会安排一定数量的此类问题，让学习巩固方法，培养能力，积累经验，同时，也消除学生心理上的神秘感、畏难情绪.

教学启示

学生由起初面对“实践与综合应用”的问题时所显现出“怕烦、畏难”心理和解答时感到无从下手的状况，得到了明显的、有效的改观. “实践与综合应用”的本质是解决问题，但由于它具有实践性、探索性和综合性，对其的考查一般体现在解决问题的过程性、探索性和综合性上，因此在中考复习中，要注重复习实际效果，应突出以下几点复习策略.

1. 放手让学生探究是提高学生解决“实践与综合应用”问题的重要法宝

在教学中我们认为，留足时间多让学生进行探究，给学生更大的思维空间，在学生经过充分的思考、尝试后，及时点拨、引导，效果会较好. 教师千万不能认为后期复习时间紧，没有时间让学生“折腾”，还不如老师讲，这种认识很不适合“实践与综合应用”的复习. 您讲的方法也许会不适合他们的思维方式、理解方式和学习能力，尽管效率有了，但未必有效果.

2. 引导学生转化是解决“实践与综合应用”问题的宝贵策略

学生应提高对相关数学知识的理解、对数学知识之间联系的认识和掌握的情况，以及结合生活经验，综合应用知识提出问题、探索问题、解决问题的能力. 应联想相关知识点，将问题转化为相关知识的问题，运用该知识点及涉及的方法等去解决，逐步剥皮，去除现象，露出该问题的相关知识点的本质.

3. 良好心理的培养是解决“实践与综合应用”问题的重要基础

在整个中考复习中，学生的心理状况是我们老师不容忽视的重要教学基础. 从整体上讲，现在学生的学习动力普遍不足，讲基础问题，学生够得着，学生配合的积极性尚可，但当讲到一些较难的问题时，学生的反应明显差异很大，特别是“实践与综合应用”的问题，学生明显会暴露出“怕烦、畏难”的情绪，加上此类问题特别麻烦、难缠，所以学生不愿下手或确实无从下手，此时不仅是“高压”和老师“你们要学，中考要考”的叫嚣，更多的应从学生的立场去考虑、去帮扶，吸引学生跟着你学，这才是最重要的；对学生出现的情绪，要能敏锐发现、及时排解，方能让课堂流畅，让学生学有所得.