运用“四善”法提高数学解题能力

近几年的高考命题，由知识立意向能力立意转化，强调创新意识的考查，注重能力，强化数学思想与方法，注重知识的交汇，立意新颖、构思巧妙，体现思维的发散性.在数学解题中我们不仅要注重通解通法，而且要审准题意，善于捕捉有用的信息巧妙解题.这就需要我们平时花大量的工夫训练.以下谈谈我的具体看法。

一、善于挖掘已知条件

在审题时，最忌讳的是不能准确地捕捉有用信息，以至于既浪费时间又解错题目.因此善于挖掘已知条件就能很快找到准确的解题途径.

例1：设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，=λ，若・≥・，则实数λ的取值范围是（ ）

A.≤λ≤1 B.1-≤λ≤1

C.≤λ≤1+ D.1-≤λ≤1+

分析：此题很容易错选为D.但仔细一点就会发现关键条件“点P是线段AB上的一个动点”，隐含了“0

例2：从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b，4b]，则这一椭圆离心率e的取值范围是 .

分析：此题之所以使很多同学苦恼，无法求出准确答案，就是因为没充分注意“划出一块面积最大的矩形”这一条件.此题由椭圆方程+=1的参数方程为x=acosαy=bsinα，

得矩形的面积s=4acosα・bsinα=2absin2α，故最大矩形面积为2ab.

3b≤2ab≤4b？圯≤≤，又e=1-，e∈，.

二、善于提出新解法

在解题中，常规解法固然重要，但适时提出新的解法，会让人耳目一新，拓宽视野.

例3：是否存在实数a，使函数f（x）=x-2ax+a的定义域为[-1，1]，值域为[-2，2].若存在，求a的值；若不存在，说明理由.

分析：常规解法是直接讨论对称轴与定义域的位置关系，分类情况较多.

打破常规解法：f（x）=（x-a）+a-a，又函数f（x）值域为[-2，2].

a-a≤-2，从而a≥2或a≤-1.

当a≥2时，f（x）在[-1，1]上为减函数

f（-1）=1+3a=2f（1）=1-a=-2？圯a∈Φ

当a≤-1时，f（x）在[-1，1]上为增函数，

f（-1）=1+3a=-2f（1）=1-a=2？圯a=-1.

综上a=-1.

由于第二种方法充分抓住了函数f（x）值域为[-2，2]这一条件，得出a≥2或a≤-1.从而减少了讨论，优化了解题过程.

三、善于使用特殊方法

在数学解题过程中，特殊方法的使用可大大节约时间，达到事半功倍的效果.

例4：已知ABC，若对任意tR，都有|-t|≥||成立，则ABC（ ）

A.必为锐角三角形 B.必为钝角三角形

C.必为直角三角形 D.形状不能确定

分析：这道题要是按常规方法去算，好像不太好处理.因此联想利用向量的几何意义，就迎刃而解了.在高考中，总会有意无意地设置一些难度较高的试题，让同学们处理.并不是每套都要使用常规的解题思路，有时只需使用特殊值法或赋值的方法就能很快得到满意的答案.

四、善于对知识进行迁移和拓展

在数学学习过程中，同学们在做习题的时候往往满足于得到习题的答案，不太注重对习题的再思考，更谈不上对数学知识的迁移与拓展.其实，对习题稍作变化再进行仔细思考、延伸和拓展，会大大提高数学解题能力.

例5：已知圆c：x+y-4x-2y+1=0，直线l：3x-4y+k=0，圆上仅有两点到直线l的距离为1，则k的取值范围是（ ）

分析：圆c：（x-2）+（y-1）=4，半径为2，因为圆上仅有两点到直线l的距离为1，可考虑到特殊的位置.圆心到直线的距离为1与圆心到直线的距离为3，这两种情形的直线位置很特殊.以它们对应的直线的斜率为标准，很快就能得出答案C.进一步拓展条件为①圆上仅有一个点到直线的距离为1；②圆上仅有三个点到直线的距离为1；③圆上仅有四个点到直线的距离为1；④圆上不存在这样的点到直线的距离为1的k的取值范围分别是多少？这样一延伸拓展，既激发兴趣又提高数学解题能力.

总之，在平时学习数学的过程中，我们一定要做有心人，要善于挖掘已知条件，善于提出新解法，善于使用特殊方法，善于对知识进行迁移和拓展，这样解题能力才能大大提高.