谁的点子妙?

喜欢“标新立异”的点子们聚集在一起，七嘴八舌地就一道练习题展开了讨论.到底谁的点子高一筹呢？让我们来看看它们的讨论过程吧.

如图1，由若干个点组成的形如正方形的图案中，每条边上点（包括顶点）的个数相等，当每条边上的点的个数为n（n≥2）时，求组成图案的点的总数S.

点子1说：“这个好办呀，一个一个地数数就知道了啊！”

点子2说：“认真观察图形，可以得到：S2＝4＝4×1＝4×（2－1），S3＝8＝4×2＝4×（3－1），S4＝12＝4×3＝4×（4－1），由此我们可以推断出Sn＝4×（n－1）.”

爱钻研的点子3说：“我是这样来思考的，第一个图形每条边上有2个‘’，4条边便共有4×2个‘’，但每个顶点处都有一个‘’被重复计算了两次，这样一来，图形中有（4×2－4）个‘’.同样道理，第n个图形中有（4n－4）个‘’. ”

善于动脑筋的点子4也参加了讨论：“先不考虑顶点，每条边上有（n－2）个‘’，四条边上就有4（n－2）个‘’，再加上4个顶点处的4个‘’，便得S＝4（n－2）＋4. ”

不甘落后的点子5边画边说：“还可以这样，我们只要按图2中那样划分，直接数一数，便可得S＝2n＋2（n－2）”.

“哎，还可以这样，你的思路启发了我.”点子6说，“按图3这样来划分，也可以直接数一数，得S＝4（n－1）.”

“大家还可以试试利用正方形的面积来寻找规律！”点子7提出的这个点子给人耳目一新的感觉，“大家看，如图4，外面的最大正方形的面积为n2，而其里面的最大正方形边长为（n－2），所以面积为（n－2）2，因此S＝n2－（n－2）2.”

激烈的争辩感染了在场的每一个点子，它们纷纷发言，在积极地寻找着解决问题的更好办法.经过长时间思考的点子8站起来说：“大家静一静，我再提供一种新的解决途径.请大家看图5.

这种方法可以叫做‘构造四边形法’，按此法，第一个图形构造出（2－1）个四边形，依次推理，第n个图形可以构造出（n－1）个四边形，由于每个四边形都有4个顶点，所以S＝4×（n－1），这样是不是也很直观呢？”

聪明的点子们还在激烈地争论着，亲爱的同学们，你们是不是也想加入点子们的讨论呢？想想看，你还能有更好的解决问题的方法吗？试试看，相信你一定能找到最适合自己的解决问题的途径.