转化思想的“五个一”

数学解题中的转化思想要求我们换一个角度去看，换一种方式去想，换一种语言去讲，换一种观点去处理，换一种形式去解，以使问题朝着有利于解决的方向不断变更，从不同的角度和特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来． 转化就如同“翻译”，通过“翻译”，不仅使我们对能解决的问题不再停留在解决的层面上，而且让我们能站得更高、看得更清、想得更好、表述得更简洁．下面以2010年高考题为例加以说明．

一、换一个角度去看

例1 （重庆卷）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）

A. 3?摇?摇 B. 4

C. ■?摇?摇 D. ■

分析 由等式x+2y+2xy=8，直接求x+2y的最值是行不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，将条件等式转化为不等式，再求最值．

解 已知x＞0，y＞0，由基本不等式有2xy＝x・（2y）≤（■）2，则x+2y=8-x・（2y）≥8-（■）2，整理得（x+2y）2+4（x+2y）-32≥0，即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0. 又x+2y＞0，所以x+2y≥4，则x+2y的最小值是4． 故选B.

二、换一种方式去想

例2 （江西文科卷）正实数数列｛an｝中，a■=1，a■=5，且｛a2n｝成等差数列． 证明数列｛an｝中有无穷多项为无理数．

分析 用习惯的思维方式难以直接将“有无穷多项为无理数”的题意转化为数学关系式． 因此，解决本题的关键是换一种方式去想. 从正面思考遇到困难，应从反面去探索，用反证法来证明．

证明 由已知有：a2n=1+24（n-1），从而an=■，

取n-1=242k-1，则an=■（k∈N*）．

用反证法证明这些an都是无理数．

假设an=■为有理数，则an必为正整数，且an＞24k，

故an-24k≥1．

又an+24k＞1，与（an-24k）（an+24k）=1矛盾，

所以an=■（k∈N*）都是无理数，即数列｛an｝中有无穷多项为无理数．

三、换一种观点去处理

例3 （全国卷Ⅰ）若变量x，y满足约束条件y≤1，x+y≥0，x-y-2≤0，则z=x－2y的最大值为 （）

A. 4?摇?摇 B. 3?摇?摇 C. 2?摇?摇 D. 1

分析 求解本题，我们常用图象法处理，不过如果我们能换一种观点去处理，则会让整个解题过程别开生面． 下面是用不等式观点，解决此不等式问题．

解 将y＝■（x－z）代入y≤1，x+y≥0，x-y-2≤0，得z≥x-2，z≤3x，z≤4-x.

关于x的不等式组x≤z+2，x≥■，x≤4-z有解，则z+2≥■，4-z≥■.解得－3≤z≤3．

所以zmax＝3． 故选B.

评注 此题转化为解不等式组可省去作图，可以有效地节省时间．

四、换一种语言去表述

例4 （福建卷）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有0＜f（x）-h（x）＜m，0＜h（x）-g（x）＜m，则称直线l:y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“分渐近线”． 给出定义域均为D=｛x|x＞1｝的四组函数如下:

① f（x）=x2，g（x）=■； ② f（x）=10-x+2，g（x）=■；

③ f（x）=■，g（x）=■； ④ f（x）=■，g（x）=2（x-1-e-x）．

其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）

A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④

分析 本题表述比较陌生，不易理解，由题意难以直接转化出数学关系式，因此，需要换一种语言去表达，将题意条件转化为熟悉的数学语言，即存在分渐近线的充要条件是x∞时，f（x）-g（x）0．

解 由题意知，存在分渐近线的充要条件是x∞时， f（x）-g（x）0．

对于①，当x＞1时便不符合，所以①不存在；

对于②，肯定存在分渐近线，显然h（x）＝2是分渐近线，此时x∞；

对于③， f（x）-g（x）=■-■，当x∞时，x＞lnx＞0，即■＜■，于是 f（x）－g（x）＜0不符合条件，所以不存在分渐近线；

对于④，当x∞时， f（x）-g（x）=■+2+■0，因此存在分渐近线．

综上可知，存在分渐近线的是②④． 故选C.

五、换一种形式去解决

例5 （山东卷）若对任意x＞0，■≤a恒成立，则a的取值范围是．

分析 将所给的分式■利用恒等变换，换一种分式表示，即■，就可简捷地求出a的取值范围．

解 因为x＞0，所以x+■≥2（当且仅当x=1时取等号），所以有■=■≤■=■，即■的最大值为■. 故a≥■．

例6 （天津卷）设函数 f（x）=x2-1，对任意x∈［■，+∞）， f（■）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．

分析 换一种形式表示原来的不等式，分离出m，即可运用恒成立条件来解决．

解 由题意知，■-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈［■，+∞）上恒成立，即■-4m2≤-■-■+1在x∈［■，+∞）上恒成立. 当x=■时，函数y=-■-■+1取得最小值-■，所以■-4m2≤-■，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-■或m≥■． 故填（-∞，-■］∪［■，+∞）．

评注 若能将含参数a的关于x的不等式，通过分离参数a后，可得到以下充要条件：

① g（a）≤f（x）恒成立?圳g（a）≤f（x）min；

② g（a）＜f（x）恒成立?圳g（a）＜f（x）min；

③ g（a）≥f（x）恒成立?圳g（a）≥f（x）max；

④ g（a）＞f（x）恒成立?圳g（a）＞f（x）max．

小结转化在实际解题中可多次使用，但转化的层次性、多样性和重复性会影响到转化的等价性． 若是等价转化，则所得的解就是原问题的解. 数学中之所以特别重视充要条件，就是因为利用它便于等价转化. 若是非等价转化，就要视情况而定. 如不等式在用于证明不等式时用的往往是推出特性，而用于解不等式，则要求同解变形，只有这样，才能使转化在规范、灵活、简洁的前提下保证转化的有效性，提高解题的正确性．

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