人造卫星的椭圆轨道和变轨问题探析

摘 要：随着我国“神舟”系列宇宙飞船的成功发射和回收以及“神舟十号”与“天宫一号”的成功对接及我国实施的探月计划，与航空航天有关的问题成为物理教学和高考的热点。在中学阶段，人造地球卫星问题主要是圆周运动问题，教师在教学中讲得比较透彻，学生也比较容易理解，但在卫星沿椭圆轨道运行和变轨问题上，在教学实践中，发现相当多的教师理解得不够透彻甚至错误，更遑谈学生能够正确理解并掌握。先从数学角度简单介绍椭圆的曲率半径，再探究几个常见的卫星沿椭圆轨道运行问题和卫星变轨问题。

关键词：曲率；曲率半径；椭圆轨道

天体的运行问题是高考的热点问题，在椭圆轨道和变轨问题上，中学阶段基本上都是做定性解释，很少做定量计算，且在教学实践中，一些学习优秀、善于思考的学生往往会在此类问题上提出更深层次的问题，如卫星在椭圆轨道的近、远地点的向心加速度大小和不同轨道的向心加速度、速度大小怎么比较？在用Fn=m■、an=■求解时，在近、远地点的“r”到底是哪个量？怎么求？虽然学生提出的问题有的已经超出中学生应当掌握的范围，但是从激励学生的探究需求出发，对一些优秀的学生在这些问题上可适当做些拓展，况且作为授业解惑的教师，也需要对这些问题有个清楚的认识。可是在教学实践中发现一些教师由于在这些问题上认识不清甚至根本不知道，经常被学生问得手足无措而避而不谈或者作出错误解释，一些材料在这些问题上的解释往往也是模棱两可。若想对椭圆轨道的有关问题进行定量计算，首先必须对椭圆的曲率和曲率半径等有关知识有清晰的认识。

一、椭圆的曲率半径

1.曲线的曲率和曲率半径

曲率是描述曲线弯曲的程度，曲线y=f（x）（设x=Φ（t），y=φ（t））的曲率的计算公式为k=■。如图1所示，设k（k≠0）为曲线y=f（x）在点M处的曲率，圆C与曲线相切于M点，若CM=R=■，圆C称为曲线在点M的曲率圆，圆C的半径R则称为曲线在点M的曲率半径。故曲率半径的计算公式为：

R=■=■―――①（1）

2.椭圆的曲率半径

如图2，a是椭圆的半长轴，b是椭圆的半短轴，椭圆的参数方程为：x=acosθ，y=asinθ。把x′=-asinθ、x″=-acosθ、y′=bcosθ、y″=-bsinθ代入①式得：R=■，取不同的θ值可以求得椭圆不同位置的曲率半径，比如把P（θ=0）和Q（θ=π）代入椭圆曲率半径公式可得：P、Q两点的曲率半径均为■，A、B两点的曲率半径均为■。

二、有关椭圆轨道几个问题的分析

1.椭圆轨道近、远地点的速度大小的求解

例1.如图3，某卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球所在的O点为椭圆的一个焦点，若a、b分别为地球中心到轨道近地点Q和远地点P的距离。卫星在近地点的速率为vQ，求卫星在远地点的速率vP？

错解：卫星在近地点时有：G■=m■；卫星在远地点时有：G■=m■

联立上述两式得：■=■，则vP=vQ■

产生上述错误解法的原因是没有认识到开普勒行星运动定律与万有引力定律的不同而盲目套用公式。a和b只是卫星在近、远地点的引力半径，而这两点的曲率半径都应该是■，所以产生错解的更深层次的原因是把这两种半径混在了一起，那正确的解法又是怎样的呢？

解法一：用椭圆的曲率半径知识求解。

设P、Q两点的曲率半径为r

在近地点时有：G■=m■

在远地点时有：G■=m■

联立上述两式得：vP=■vQ

解法二：用开普勒第二定律求解。

如图4所示。设S1和S2分别为时间Δt内卫星与地心的连线在Q、P附近扫过的面积。当Δt很小时，S1、S2的面积也很小且两个图形近似是扇形，由扇形的面积公式可得：S1=■avQΔt，S2=■bvPΔt，根据开普勒第二定律S1=S2得：vP=■vQ。

例2.发射升空后的神舟飞船先在如图5所示的椭圆轨道上运行，远地点P距地球表面高度h1=347 km，近地点Q距地球表面高度为h2=200 km。vP、vQ分别是卫星在P点和Q点的速率，求vP、vQ的大小？（地球半径R地=6370 km，地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2）。

解析：设r为P、Q两点的曲率半径，P点的引力半径a=R地+h1=6717 km，Q点引力半径b=R地+h2=6570 km。

则在P点：G■=m■①

在Q点：G■=m■②

在地球表面有：G■=mg③

P、Q两点曲率半径：r=■④

联立①―④并代入数据得：vP=■■=7.65 km/s

vQ=■vP=7.82 km/s

上述解法用r=■求P、Q两点曲率半径，存在明显错误，其实求得的是椭圆的半长轴，而不是椭圆在P、Q点的曲率半径。从题目所给的已知条件，显然无法求得P、Q两点的曲率半径，我们知道，当椭圆的长轴与短轴的大小非常接近时，可把椭圆近似看成圆，P、Q点的曲率半径可用r=■近似求得，本题虽然属于这种情形，但在解题时必须明确指出，否则就会产生误导。

2.人造卫星变轨时的速度问题

例3.如图6所示，在发射某同步卫星时，先让卫星进入一个近地的圆轨道1，当卫星沿轨道1运行到P点点火，使卫星进入椭圆转移轨道2，到达Q点时再次点火，使卫星进入指定的圆轨道3。图中P、Q分别是椭圆轨道2的近、远地点。1、2轨道相切于P点，2、3轨道相切于Q点。设卫星在轨道1上运行的速率为v1，在P点点火后的速率变为v2，使卫星进入轨道2运行，沿轨道2到达远地点Q时的速率为v3，在Q点瞬间加速后进入轨道3后的速率为v4，请比较v1、v2、v3、v4的大小。

在比较v1与v2、v3与v4的大小关系时，很多材料给出这样的解释：卫星要从轨道1变到轨道2上运行，就必须在P点瞬间加速，使得卫星所受万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动到轨道2上，故v2>v1。同理，要想从轨道2上变到轨道3运行，就必须在Q点瞬间加速，故v4>v3。

在上面的解释中，只是简单地以“卫星所受万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动”作为理由，在中学教学中做这样的解释也无可厚非，但这个解释无法解开学生心中的疑惑，那应当怎样分析才更具有说服力呢？P、Q两点分别是卫星在椭圆轨道2的近、远地点，如图7所示。设卫星和地球的质量分别为M、m，P、Q到地心的距离（即引力半径）分别为r1、r2，设r为轨道2的近、远地点的曲率半径，则FP=G■=m■，FQ=G■=m■（需要注意的是式中的r≠r1≠r2）。若卫星在圆轨道1上运行到P点不加速，就会在半径为r1的圆轨道1上以速度r1一直运行下去。卫星在P点加速后，速度瞬间增大为r2，假设卫星还在原来的圆轨道1上运行，卫星轨道在P点的曲率半径就没有改变，还是r1，速度增大就会导致所需向心力增大，而万有引力FP=G■在加速瞬间没有改变，显然已不足以提供向心力，卫星就会在P点做离心运动，最终会在在P点的曲率半径为r（r>r1）的椭圆轨道2上运行。同理，卫星在Q点瞬间加速后，就会在Q点做离心运动，最终在在Q点的曲率半径为r2（r2>r）的圆轨道3上运行。

3.椭圆轨道的向心加速度问题

例3.如图8所示，椭圆为地球的某卫星绕地运行的轨道，其近地点A、远地点B到地心的距离分别为c和d，求卫星在A、B两点的向心加速度之比■。

解析：在A、B两点，卫星所受引力提供向心力。则在A点：G■=maA，在B点：G■=maB，联立上述两式得：■=■。

其实，本题除了用以上方法求解外，也可以利用椭圆在A、B两点的曲率半径相等来求解，设A、B两点的曲率半径均为r、速率分别为vA∶vB，根据本文例1的结论可知：■=■，A点向心加速度aA=■，B点向心加速度aB=■，则■=■=■。这个解法不但验证了上述解法，而且更具说服力。

参考文献：

章栋恩，金元怀.高等数学[M].北京：中国标准出版社，1998-02.