让学生的思维在数学的课堂上自由飞翔

笔者在高三一轮复习过程中，恰逢学校开展“互助式”学习模式的教学改革活动。在处理如下一道解析几何问题时，笔者让学生通过互助合作，深入研究和探索，既巩固了知识，又拓宽了思路，学生的思维在课堂上充分地活动、自由地飞翔。现记录如下，供同行参考：

一、教学片断

1.展示题目，布置学生思考。例题：已知椭圆 的焦点是F1、F2，椭圆上是否一点P，满足PF1PF2，若存在，这样的P点有几个；若不存在，请说明理由。

2.布置学习小组讨论。

3.学习小组选派代表展示讨论成果。

（各学习小组通过讨论，得出了如下九种解法，分别通过投影仪展示）

解法一：设P（x0，y0）由PF1PF2知 即x02+y02=9，（也可由PF1PF2知 得到）

与 联列方程组，得 ，x0不存在，故P点不存

在。

解法二：设以F1F2为直径所作圆的方程为：x2+y2=9与椭圆方程： 联立方程组，解之得： ，不可能，故圆x2+y2=9与椭圆 无交点，即PF1不可能垂直PF2，故P点不存在。

解法三：以F1F2为直径作圆，圆的半径r=c=3＜4=b，即圆与椭圆不可能有交点。故P点不存在。

解法四：设P（x0，y0）由焦半径知：

，x0不存在，故P点不存在。

解法五：设P（5cosθ，4sinθ），由PF1PF2知

而

=25cos2θ-9+16sin2θ=0 无解，故P点不存在。

解法六：设∠PF1F2=θ，假设PF1PF2，则

，而|PF1|+| PF2|=2a=10即：10≤6√2，不可能，故P点不存在。

解法七：设|PF1|=m，|PF2|=n，

故∠F1PF2≠90°PF1PF2不可能。故P点不存在。

解法八：由题意知当p点在短轴端点处∠F1PF2最大，设∠F1PF2

=2α此时∠F1PF2为锐角，与题设矛盾。故P点不存在。

解法九：由题知而在椭圆中： 不可能成立12＞16，故P点不存在。

4.针对以上解法，老师布置小组讨论思考如下问题

（1）从这道例题的处理学会了哪些数学方法？

（2）由这道例题的探索过程，我们能总结出哪些重要的数学结论？

5.小组选派代表交流了以下成果

（1）从这道例题的处理学会了哪些数学方法？

①存在性问题的一般处理办法：先假设存在，求得出就存在；求不出就不存在。

②导出结论不存在的可能情况：方程无解；超出了横纵坐标的范围；超出了椭圆的一些定值（如长度、角度或面积等）的范围。

③垂直问题的处理办法：斜率之积为-1；向量的点乘为0；与圆的联系等。

④椭圆的参数方程的应用。

⑤焦半径公式的使用等等。

（2）由这道例题的探索过程，我们能总结出哪些重要的数学结论

①对椭圆上一动点P，当P点在短轴端点处时∠F1PF2最大。

拓展：若椭圆长轴端点分别为A，B，对椭圆上一动点P，当P点在短轴端点处时有∠APB最大。

②椭圆焦点三角形的面积公式：

拓展：双曲线的焦点三角形的面积公式：

（教师在学生展示的过程中引导对其分别证明。）

二、教学反思

1.数学的课堂应给学生自由飞翔的空间。新课程倡导教学过程应让学生积极主动参与，促进学生思维最大限度的发展。教师开放式的设问和探索性的目标引领，往往能提高学生自主探索的兴趣。鼓励学生主动探索、相互合作，有利于数学问题的深入研究和学生的广泛接受。因此，在课堂教学中，必须给学生提供充分的自主学习的时间和空间，放手让学生充分参与学习活动。

2.数学教学过程应引导学生在解题的基础上及时总结，适时归纳。现代教学理论认为，发展智力、培养创新思维能力是中学数学教学的主要任务。在数学教学中，教师应当有目的、有计划地拓展学生的思维空间。引导学生在解题的基础上认真总结，及时归纳，既能梳理所学的知识，掌握解题的方法和规律，又能培养学生的创新意识和解决相似问题或相关问题的能力。

3.教师应善于捕捉数学课堂中的动态生成资源。在“互助式”教学模式的数学课堂上，学生作为一种鲜活的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感、兴趣积极地参与课堂活动，因而课堂中必然会经常生成许多课前没有预料到的动态资源。此时，在教学中我们不能拘泥于预设的教案不放，必须善于捕捉这些资源并即时纳入课堂设计，巧妙运用于教学活动。这样，我们的教学才能在动态生成中得到完善，教学效率也必将得到更大程度的提高。

【参考文献】

[1]王强芳.让数学课堂展开思维的翅膀.中学数学教学参考，

2007，1

[2]罗增儒.数学解题学引论.2004，7