“拆”出精彩――裂项法在竞赛题目中的应用

拆项相消法，俗称裂项法，是将通项 拆成两项或两项以上，在求和过程中与前后分别相消来完成数列求和的一种方法。常见的有：

an= = - ；

an= = n+1- n；

an= = [ - ]；

an=n・n！=（n+1）！-n！；

an= = - ……

上述式子的应用比较简单，此处不加累述。本文中我们将更加关注裂项思想在解题中的运用。

例1：已知数列{an}满足an= ，求sn。

题目形式有些类似于an= = n+1- n，而这个结论的出现我们使用的是分母有理化的方法，这里我们不妨对an= 分母有理化观察结论的形式。

解：an= =

= = - = - ，

sn=（1- ）+（ - ）+…+（ - ）

=1- 。

例2：求和sn= k（k+1）。

裂项思想是将该数列中的每一项转化为两项的差，我们观察它的通项ak=k（k+1）=k2+k，它要转化为两项的差自然要尝试多项式相邻两项的差。

解：k（k+1）= [k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，

sn= （1×2×3-0×1×2）+ （2×3×4-1×2×3）+…+ [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]= n（n+1）（n+2）。

通项ak=k（k+1）=k2+k是关于k的二次形式，构造三次多项式相邻两项的差，k的三次方项恰好可以抵消，此时容易出现我们想要的形式。明确了方向，题目也就不难解决了。

例3：设n是给定的不小于3的正整数，求关于x的方程的所有实数解： + +…+ =0。

方程左边非常具有裂项求和潜质，我们尝试将分子的1进行转化，变为某个差角公式的展开式，进而将一项分解为两项。

解：对原式两边都乘以sinx，注意到对2≤k≤n，都有

于是，原式变为：（tan2x-tanx）+（tan3x-tan2x）+…+[tannx-tan（n-1）x]=0。

即可得：tannx=tanx。

其解为：nx=mπ+x，即x= ，m∈Z。

注意，这里应排除使得“cosx，cos2x，…，cosnx”中有一个为零的解，并且还要排除由sinx=0引起的增根。由于sinx=0，导致cos（k-1）xcoskx=1，2≤k≤n或者cos（k-1）xcoskx=-1，2≤k≤n，这时都不是原式的解。所以原式的所有解为{x|x= ，m∈Z，并且sinxcosxcos2x…cosnx≠0}。

具体表述如下：

{x|x= ，m∈Z，并且不存在l∈Z及l≤k≤n，使得x= 或x=lπ}。

例4：证明存在常数A和B，使对一切n∈N*，有a1+a2+…+an=Atann+Bn，其中ak=tank・tan（k-1），k=1，2，3，…，n。

该题根据“ak=tank・tan（k-1），k=1，2，3，…，n”通项的形式不难联想到正切的和角公式tan（x±y）= 。同时k与k-1的差为1，所以不难想到对tanl展开变形得到ak。

证明：对于一切k∈N*，

有tanl=tan[k-（k-1）]=

变形整理得ak=tank・tan（k-1）= -1，

所以有：

a1+a2+…+an=（ -1）+（ -1）+…+（ -1）

= -n= ・tann+（-1）n。

故存在常数A= 、B=-1满足题意。

例5：设n∈N*。证明：

arctan +arctan +…+arctan =arctan 。

显然，该题应对等式左边求和，联想到裂项的思想将左边的每一项分为两项的差，再结合等式右边的形式可以尝试证明arctan =arctan -arctan 。证明的方式同例5，对该式两边取正切，证明略。

裂项法作为求和的一种常用方法在近年的联赛中频繁出现，考查更多的是裂项思想而非具体的某几种常见表达式。熟练掌握裂项思想，我们能够对许多求和及证明问题给出更加精彩的解法。