虚拟手术中基于边界元模型的碰撞检测研究

摘 要：碰撞检测是虚拟手术的关键技术，针对人体组织的材料特性，提出基于线弹性理论的边界元模型。首先对整个场景空间进行剖分，在剖分网格中构建层次包围盒，包围盒相交时再进行精确相交检测。碰撞引起组织形变时，在几何模型的边界上建立线弹性积分方程，碰撞单元区域的形变量能够通过离散的求解结果反映出来。该算法速度快、精度高，很好的解决了虚拟手术系统实时性与真实感之间的矛盾。

关键词：虚拟手术；碰撞检测；边界元模型

中图分类号：TP391.9 文献标识码：A

1 引言

虚拟手术是虚拟现实技术在医学领域的重要应用。在虚拟手术系统的研发方面，世界各国都已经取得了很大的进展，但系统的实时性与真实感之间的矛盾仍然是研究中存在的主要问题。总体看说，虚拟手术技术已经得到了比较广泛的应用，目前许多研究机构逐渐退出了比较成熟的虚拟手术系统，但是由于某些相关技术难点有待解决，以及开发成本较高等问题，使得大多数虚拟手术系统只是应用于教学、演示等方面，难以满足临床应用的需求。

碰撞检测是虚拟手术中的一项关键技术，存在于虚拟手术的整个过程。虚拟手术中所涉及到的研究对象大体可分为刚体组织和软件组织两类。骨骼、医疗器械等在手术中不产生弹性形变的物体属于刚体组织，除骨骼之外的大部分人体器官，如血管、肌肉、内脏等可产生弹性形变的属于软体组织。由于人体器官组织比较复杂，软体组织的形变计算不但会影响虚拟手术的真实感，而且还制约着系统的实时性。目前虚拟手术仿真模型的建模主要包括质点弹簧建模法和有限元建模法两种方法。质点弹簧模型容易实现，但是变形精度比较差，计算模型不很稳定容易产生较大误差。有限元法可以精确地模拟具有物理意义的物体形变，但求解过程非常复杂，很难达到手术仿真的实时性的要求。

2 基于线弹性理论的边界元模型

针对人体组织的材料特性，本文提出了基于线弹性理论的边界元模型。首先对整个场景空间进行剖分，在剖分网格中构建层次包围盒，包围盒相交时再进行精确相交检测。碰撞引起组织形变时，在几何模型的边界上构建线弹性积分方程，求解结果的离散量反映了碰撞单元区域的形变量。该算法计算精度高、速度快，能够很好的解决虚拟手术中真实感和实时性之间的矛盾。

对整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，采用八叉树表示法存储。在剖分网格中构建层次包围盒。相对于单纯的层次包围盒技术，该方法构建的层次树规模更小，计算量更少。然后针对人体组织的材料特性，构建基于线弹性理论的边界元模型。碰撞引起组织形变时，在几何模型的边界上构建线弹性积分方程。方程组通过离散化之后只有边界上的节点存在未知量，有利于加快计算速度，提高计算效率。基于边界元模型的碰撞检测算法在保证系统真实感的前提下，可有效减少冗余检测次数，降低计算复杂度，提高碰撞检测的速度，满足虚拟手术的实时性。

2.1 空间剖分

整个虚拟手术场景递归的分割成若干个网格单元。采用八叉树表示法进行存储，八叉树的根节点定义为包含整个场景空间的立方体，立方体相互垂直的三条边分别与坐标系的x，y，z轴平行。用平行于坐标平面的三个面将立方体平均分割为8个小立方体，生成8个子节点，分割过程递归进行，直至达到指定的剖分层数为止，树的每个叶节点都包含有限个基本的几何元素。

在八叉树的叶节点上，对于包含的几何元素建立层次包围盒（Bounding Volume Hierarchy，BVH），即包围盒层次树。层次树向下逐层分裂，直到每个叶节点表示一个基本几何元素。相对于单纯的层次包围盒技术，使用层次包围盒与空间剖分相结合的方法构建的层次树规模小，计算量少，能够有效的进行碰撞检测。如图1所示。

碰撞检测算法从八叉树的根节点开始，如果两个几何元素分别属于两个不同的节点则元素不会相交，如果两个几何元素属于同一节点，则需要递归到下一级节点进行检查。直到两个基本几何元素属于同一叶节点，则计算各自所在的包围盒是否相交。包围盒不相交则两个几何元素一定不相交；包围盒相交，则需要进行精确相交检测，以判断两个几何元素是否相交。

2.2 边界元模型

针对虚拟手术仿真系统的要求，尤其是对于人体组织碰撞变形的仿真，采用基于线弹性理论的边界元法模型。线弹性物体具有线性相关的力学特性，在方向不变的力的作用下，物体的运动轨迹为直线。在几何方程的应变与位移的关系方面，在物理方程的应力与应变的关系方面，在变形前状态的平衡方程方面都体现出了线性的关系。因此线弹性模型经常被应用于实时性要求较高的虚拟手术系统中。

边界元法（Boundary Element Method，

BEM）又称为边界积分方程法，是继有限元法之后发展起来的一种工程数值计算方法。有限元法的基本思想是在连续体域内划分单元，而边界元法的基本思想是用边界上的积分方程来代替问题的控制方程，利用边界上的有限个单元对积分方程进行离散求解。离散化之后的方程组的未知量只出现在沿边界的节点上，从而降低了待求解方程的维数，减少了计算量。另外，问题的基本解具有解析与离散相结合的特点，能够提高计算精度。

3 研究方案

首先获取医学数据，进行人体组织模型的重建，在保证真实感的前提下对表面模型进行简化，建立符合要求的几何建模，对于人体组织模型中的刚体组织和软体组织进行不同方式的建模，针对软体组织建立基于边界元的模型，便于进行碰撞检测和弹性形变的处理。

整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，用八叉树表示法存储网格单元，在网格单元构建包围盒层次树，层次树的每个节点构建包围盒。碰撞检测算法执行时从树的根节点开始，当两几何元素属于同一网格单元时，进一步对包围盒进行检查。如果两个基本几何元素所在的包围盒相交，则需要进行精确相交检测。

碰撞响应用于处理组织碰撞后引起的形变问题，采用基于线弹性理论的边界元模型，首先将连续的求解区域离散化为有限个组合体，每个组合体包含按一定方式相互联结在一起的多个单元。在每个区域内部构建线弹性模型。单元区域的控制方程由边界上的积分方程表示，引入位移边界条件和力边界条件，得到关于位移的方程组，利用边界上的有限个单元对积分方程进行离散求解解决组织形变问题，经离散化后的方程组只在沿模型边界上的节点含有未知量。求解结果反映了碰撞单元区域的形变量，重新建立线弹性积分方程表示形变后的几何模型。

结语

本文提出了基于空间剖分的包围盒层次树算法和基于线性弹性理论的边界元模型。将整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，采用八叉树表示法存储。在剖分网格中构建层次包围盒。在几何模型的边界上进行单元剖分，构建线弹性积分方程，组织形变时通过边界上的有限个单元对方程进行求解，求解的离散结果反映了碰撞单元区域的形变量。基于线弹性理论的边界元模型计算精度高、速度快，能够更好的解决虚拟手术系统真实感和实时性之间的矛盾。

参考文献

[1]彭磊，张裕飞，王秀娟.虚拟手术中实时碰撞检测技术研究[J].硅谷，2012，5（22）：29-30.