一类非线性波动方程的初边值问题

【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题，利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明了解的衰减性。

【关键词】非线性波动方程 初边值问题 整体解 衰减估计

一、 引言及主要结论

本文讨论如下初边值问题：

的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。

我们用Galerkin方法证明问题(1)―(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：

定理 假定

(A4)h是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。

在F1上满足相容性条件.其中

则对任意的T>0，问题(1)―(4)存在至少一个整体广义解

若令(A2)中的p=1且和(A1)中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得

此外，若f1Lipschitz连续，则解是唯一的。

二、定理的证明

设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)―(4)的近似解

据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题

据常微分方程的一般理论，问题(5)―(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明uk(t)能被整体延拓到[0，+∞)上.

第一个估计

将方程(5)中的wj换成uk(t)，并在(0，t)上积分，得到

由假设(A3)，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到

合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计

其中L1是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

第二个估计

首先估计ukttn(0)的L2范数，易得uktt≤L2.其中L2是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的wj换为uktt得到

对上式左边第一项进行估计，可得

在(0，t)上积分(9)式，，得到

类似(8)的做法，，可以得到

合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计

其中，L3是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

非线性项的分析

利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.

由第一个估计和假设(A1)可知，存在函数，使得

利用广义格林公式，由(5)得到

由于Δu∈L2())，从而有

再利用广义格林公式，由(13)和(14)得到

由于

接下来，把(5)中的wj换为 uk并在(0，T)上积分，得到

对上式两边取极限得到

合并(14)、(15)和(16)，利用广义格林公式得到

由假设(A1)得到

利用Lions引理即得(12).

惟一性

设u1和u2是问题(1)-(4)的两个解，则z=u1-u2满足

在(17)中令w=zt(t)，由假设(A2)、(A3)可以得到

其中，λ来自于不等式

另一方面，由f1lipschitz连续和假设(A1)可知，存在常数C使得

在(0，t)上积分(18)得到

利用Gronwall引理，由上式即得.

惟一性得证.

能量的一致衰减

由(1)得到

(19)

若令(A2)中的P=1，则存在正常数δ1和δ2，使得(20)

考虑到假设(A1)，由(19)，(20)得到

(21)

注意到h(0)=0简单的计算易知

(22)

其中

定义修正能量

(23)

假定

(24)

其中λ>0来自于不等式则由(23)，(24)可得

(25)

因此，E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.

接下来，由(21)，(22)，(23)，(25)及假设(A4)得到

定义扰动能量.其中.不难证明，存在正常数C1>2，C2>0使得(26)

和(27)

综合(26)，(27)可得

其中，C，λ为正常数.证毕.

参考文献：

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基金项目：河南省自然科学基金资助项目，编号0211010500.

(作者单位：河南财经学院信息学院)

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”