陕西高考数学(理)20题解法赏析与探究

[摘要]新课改新高考需要教师充分利用和研究高考试题。对2013年陕西高考数学（理）20题多种解法的研究与赏析，可从多方面思考研究这类问题的一般规律。

[关键词]高考题；定点；圆锥曲线；切线；几何作图

[中图分类号]G623

[文献标识码]A

[文章编号]2095-3712（2013）32-0059-03

[作者简介]丁仕杰(1973―)，男，湖南湘西人，福建省厦门市集美中学教师，中学一级。

一、试题再现

已知动圆过定点[WTBX]A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8。

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(Ⅱ)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点。

问题(Ⅰ)由已知条件很容易求解出轨迹C的方程为y2=8x，过程略。

问题（Ⅱ）

（1）解法一

证明：设直线l的方程为y=kx+b，

（三）解法三

由于图形的对称性可知，如果定点存在，猜测定点一定在x轴上，

可设定点为(a,0),直线PQ方程为：x=my+a，

（四）解法四

如图，x轴是∠PBQ的角平分线，则过P作x轴的对称点P1必然在抛物线上，也在直线BQ上，过Q作x轴的对称点Q1必然在抛物线上，也在直线BP上，如果定点存在，则定点必然为直线PQ与P1Q1的交点，

二、分析思考

本题简洁朴实，难度不大，但方法多样，体现了命题者“多思少算”的命题思想，符合新课改的精神。解法一为常规解法，也是参考答案，消元后方程式比较复杂，对计算要求较高；解法二是典型的设而不求的解法，大大减少了运算；解法三结合图形特点先猜测后求解证明，是解决有关定值问题的常用手段，使用x轴上的截距式，也简化了运算；解法四把定点问题转化为两动直线的交点，让问题变得更为直接，有利于求解。

（一）问题思考一

如果点B运动变为(m,0)，(m

（证明：设直线l的方程为y=kx+b，

（二）问题思考二

对于点B(m,0)(m0)，其他条件不变，直线l是否过定点？（略证：

即b=km，故直线l的方程为y=k(x+m)，直线过定点（－m，0）)。

（三）问题思考三

这个定点到底有什么特殊的地方呢？

由解法四图可知BP1Q三点共线，极端情况，当P1与Q重合为一个点时，PQ与x轴垂直，此时，P，Q为过B点所作的抛物线的切点，令切线方程：y=k(x－m)

联立抛物线方程y=k(x－m)y2=2px得：k2x2+(2p－2kb)x+k2m2=0，方程有两个相等的实根，算得切点的横坐标为－m，原来定点是过切点作x轴垂线与x轴的交点。

结合解法四我们又得到过x轴上的一点B做抛物线y2=2px切线的一种快速的几何作图法（如图）：在抛物线上任意取点Q，连接BQ交抛物线于P1，过P1作关于x轴的对称点P，分别连接PQ交x轴于点C，过C作x轴的垂线交抛物线于点M，N，连接BM，BN，则BM，BN就是抛物线过点B的切线，多么漂亮的抛物线切线的方法。

（四）问题思考四

如果曲线C改为椭圆，点B(m,0)在椭圆外部，设不垂直于x轴的直线l与曲线C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，直线l是否过定点？是否也能作出相应的切线？（结论可以证明是成立的），

即切点与定点有相同的横坐标。

对于双曲线，如果点B在两实顶点之间变化时，同样也有类似的结论存在。（限于篇幅，证明略去）

圆锥曲线综合问题的考查，是高考的必考内容，随着新课改的深入，从近年各省市的高考圆锥曲线的考查来看，难度稳中有降。我们深入研究圆锥曲线的高考题，就可以发现许多圆锥综合问题看似是由特殊位置构建的，但经常都蕴含着其本质与规律，正因如此，我们在进行圆锥曲线学习时，应该多反思这类圆锥曲线的“家族现象”问题，为解决此类问题提供更多的解题思路。[WTBZ]

参考文献：

[1]赵国藩.用“几何画板”作圆锥曲线的切线[J].数学学习与研究，2009（9）.

[2]高慧明.2007年全国高考数学试题点评与展望[J].中学生数理化：高三版，2007（9）.