Hilbert 空间和量子力学

本书以完整和自成一体的方式详细阐述了非相对论量子力学的数学基础和它们所需要的数学理论，它们是为了使量子力学系统化而由David Hilbert， John von Neumann 及其他的一些数学家所开创的数学物理分支。

自量子力学诞生以来，该领域的许多先驱都曾向Hilbert请教有关数学问题。Hilbert从1926年开始系统研究量子力学的数学基础，并在1926-27年曾经讲授过“量子理论的数学方法”。按照他和他的助手Johnvon Neumann等的观点，适用于量子力学的数学框架就是在1927年由一种抽象的数学结构所确定的空间。1926-1932年von Neumann证明了Hilbert空间算符的许多定理，于1932年撰写成非常著名的 “量子力学的数学基础”一书，Hilbert空间中的线性算符作为量子力学数学基础得到了公认。

量子力学和Hilbert空间算符是物理和数学概念之间完全对应的罕见实例之一。不幸的是，量子力学许多教科书中关于这一方面的内容几乎被完全忽视了。发生这种情况的主要原因是，在物理学家群体中，Dirac的量子力学远比Johnvon Neumann的量子力学流行。 Dirac的方法几乎不需要多少数学，很多概念缺少严格的数学定义。实际上，处理量子力学要求比Hilbert空间更普遍的数学结构。但是在Hilbert空间中量子力学更迷人，因为从中可以更清晰地看到数学结构如何以一种必然方式与物理理论联系在一起。

很多关于基础量子力学的著作不加证明地使用Hilbert空间算符理论的结果，而许多关于Hilbert空间算符的著作不处理量子力学。本书的目的不是完整地处理Hilbert空间算符，而是在完全的数学精度下讨论量子力学原理，并尽力追溯它们所赖以建立的实验事实。对于量子力学的处理是公理化的，其定义都是从以数学方式所证明的命题得到。本书不要求读者具备量子力学知识，仅从初等分析出发发展数学理论，详细给出了涉及的所有的证明，使本书很容易被仅有大学数学和物理知识的读者接受。对于自学也是非常理想的。

本书是一部纯理论著作，可以被分成几个部分用于多种课程。

全书内容分成20章：1. 集合、映射、群；2. 度规空间；3.线性空间中的线性算符； 4. 正规空间中的线性算符； 5. 扩充实线； 6. 可测集合与可测函数； 7. 测度； 8. 积分；9. Lebesgue测度； 10. Hilbert空间； 11. L2 Hilbert空间；12. 伴算符；， 13. 正交投影与投影值测度；14. 对投影值测度积分；15. 谱定理；16. 单参量幺正群和Stone定理；17. 对易算符和约化自同构；18. 迹族和统计算符；19. Hilbert 空间中的量子力学； 20. 非相对论中的位置与动量。

与量子力学密切相关的数学领域或物理类高年级大学生和研究生、泛函分析的研究人员和研究生以及物理学家会对本书感兴趣，他们可以看到抽象的泛函分析预言如何把量子理论所用的明显不同的方法引向统一。

丁亦兵，教授

（中国科学院大学）