构造法在中学数学中的一些应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2011)11-0202-02

应用构造法解决问题，就是以已知条件为先导，以相关的知识为辅助，以所求的结论为方向，通过细致的分析，丰富的联想，灵巧的构思,创造性地构造出一种新的数学形式，使所要求的问题，在这种模式下，得以轻而易举的解决。

构造法是数学中常用的一种方法，它包括构造图形、函数、三角、复数、方程、向量、数列、算法、基本不等式等等，在此仅举几个实例，浅析其思想方法。

1 构造图形

例1 椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2,点p为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。

分析：本题考察的知识点较多，综合性较强，解题方法也较多（不下六种），我们可以结合图形，联想到初中学过的直径上的圆周角等于直角这个事实，结合本题中的条件，使问题得以简化。

解：构造圆，以F1F2为直径作圆，交椭圆于P1、P2、P3、P4,由平面几何知识知，当P运动到P1、P2、P3、P4这四个中任何一处时，

∠F1PF2=90°，而运动到P1、P2或P3、P4之间时，∠F1PF2为钝角，则圆与椭圆的四个交点为临界点，故可设｜F1P1｜=r1,｜F2P1｜=r2,由勾股定理及椭圆的第一定义，得：r1+r2=6r12+r22=（25)2 解得：r1r2=8.设交点坐标为P1(x1,y1),则有：

y1=r1r2｜F1F2｜=825=45,进而求得x1=35,由对称性知，P点横坐标取值范围应是-355

2 构造函数

例2 已知｜a｜

解：原命题等价于-1

例3 求证｜a+b｜1+｜a+b｜｜a｜1+｜a｜+｜b｜1+｜b｜.

分析：观察左右两端各项中结构形式一样，可构造函数f(x)=x1+x，x∈[0,+∞),则f(x)=1-11+x，在[0,+∞)上单调递增，令x1=｜a+b｜,x2=｜a｜+｜b｜显然x1、x2∈[0,+∞),x1x2所以

f(x1)f(x2),｜a+b｜1+｜a+b｜｜a｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜=｜a｜1+｜a｜+｜b｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜｜a｜1+｜a｜+｜b｜1+｜b｜. 原不等式成立。

3 构造向量

有关向量知识是新课程里新添的内容，应用向量知识处理问题有时显得更加快捷。

例4 （见例1）

解：设动点P(x,y)，由题意求得焦点坐标F1(-5,0)、F2(5,0)，由向量的运算知，F1P=(x+5,y)、F2P=(x-5,y),因为

π2

FP・FP

｜F1P｜・｜F2P｜

4 构造恒等式

例5 已知f(x)=x2+px+q，求证：｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜中至少有一个不小于12。

分析：只须证明｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜中的最大者不小于12，即 MM=max{｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜}12。

证明：构造恒等式：f(x)=x2+px+q=(x-2)(x-3)(1-2)(1-3)f(1)+(x-1)(x-3)(2-1)(2-3)f(2)+(x-1)(x-2)(3-1)(3-2)f(3)。比较x2项的系数，有1=12f(1)-f(2)+12f(3)12｜f(1)｜+｜f(2)｜+12｜f(3)｜(

12+1+12)M=2M。

得：M=max{｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜}12。

6 构造三角函数

例6（见例6）

证明：由a1+b2=1,x2+y2=1，可设a=cosα,b=sinα,x=cosβ,y=sinβ，则｜ax+by｜=｜cosαcosβ+sinαsinβ｜=｜cos(α-β)｜1,-1ax+by1

评析：在不等式证明的一章里，很常见的一种方法就是三角换元方法，利用圆的参数方程，将代数的转化为三角的，再利用三角函数的有界性，问题就得以解决。

7 构造复数

例7 已知x、y∈R，且x2+y2=1，求证：对任意的a、b∈R，都有a2x2+b2y2+a2y2+b2x2a+b。

分析：观察左边两项都是两数平方和再开方，这与求复数模公式如出一辙，故可将ax、by与ay、bx分别作为两个复数的实部、虚部。

证明：令z1=ax+byi,z2=bx+ayi，则左边=｜z1｜+｜z2｜｜z1+z2｜=｜(ax+bx)+(ay+by)i｜=(ax+bx)2+(ay+by)2=

(a+b)2x2+(a+b)2y2=(a+b)2(x2+y2)=(a+b)2=｜a+b｜a+b=右边，所以原不等式成立。

例8 对于x∈R，试求函数y=x2+x+1-x2-x+1 的值域

解:将原函数变形为

y=(x+12)2+(32)2-(X-12)2+(32)2

由此构造复数z1=(x+12)+32i,z2=(x-12)+32i

又因为｜｜z1｜-｜z2｜｜｜z1-z2｜当z1=kz2(k>0)时取等号,所以｜x2+x+1-x2-x+1｜

所以函数的值域为{y|-1

总而言之，构造法作为数学中一种常用的方法，在教学实践中要不断的渗透、强化这种思想，使学生在构造实践中做到视野更开阔、思维更活跃、想象更丰富；使学生分析问题和解决问题的能力得以进一步提高，并在遇到问题时，能用创造性的、大胆的构想加以解决，除以上几种构造方法，还可构造数列、基本不等式、方程等等，凡此种种，不一而足，限于篇幅，仅举数例加以浅析。 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文