例析利用“分类讨论思想”解决高中数学题目的策略

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.

那么何为分类讨论呢？所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.分类讨论的思想在哪些题型中能够得到运用呢？笔者根据平时的教学，现将归纳出来的几种题型利用例题形式展现出来，希望能够对读者提供一些帮助.

题型一、问题中含有变量或者参数的要进行分类讨论

数学问题中含有变量或者参数，这些变量或者参数取不同的值时会导致不同的结果.因而需要对参数进行分类讨论.

例1 若是对任意x∈R，不等式|x|≥ax，恒成立，求实数a的取值范围.

解析 若x>0，则有a≤1；若x=0，则有a∈R；若x

综上所述-1≤a≤1时不等式|x|≥ax恒成立.

评注 在解含有参数的一元一次不等式，二次不等式时，要注意弄清引起分类讨论的主要原因，分类时要做到不漏，不重.

例2 若不等式mx2+mx+2>0对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.

分析 解此题时，不仅要想到m≠0，同时还需要注意到m=0.

当m≠0时，易知f（x）=mx2+mx+2是关于x的二次函数，要使其恒大于0，需要使其图象开口向上，且与x轴没有交点，即需要m>0且Δ

解 （1）当m≠0时，mx2+mx+2>0对于一切x恒成立时有m>0，

Δ=m2-8m

（2）当m=0时，原不等式为2>0，显然恒成立.

综合（1）、（2）可得0≤m

评注 ax2+bx+c>0恒成立的充要条件为

a>0，

Δ

c>0.

题型二、问题给出的条件是分类给出的，要分类讨论

有些概念、定理、公式及运算法则本身就包含了多种情况，所以碰到这类问题时当然需要进行分类讨论.

例3 已知函数f（x）=-x+1，

x，x

x≥0，求解不等式x+（x+1）f（x+1）≤1.

解析 （1）当x+1

解得x

（2）当x+1≥0时，f（x+1）=x+1，原不等式可化为x+（x+1）2≤1，

解得-1≤x≤0.

综上所述x≤0.

评注 本题考查了不等式的解法以及对分段函数概念的理解，由于所给不等式中含有f（x+1），因此需要利用分段函数的定义域将f（x+1）化为只含有x的式子最后才能解不等式.

题型三 解题过程不能统一叙述，必须进行分类讨论

例4 设等比数列{an}的公比q

解 由题意可知：a1≠0，Sn=a1（1-qn）1-q，则

a1q2=2，

a1（1-q4）1-q=5×a1（1-q2）1-q. ①

②

由②得1-q4=5（1-q2），即（q2-4）（q2-1）=0得（q-1）（q+1）（q-2）（q+2）=0.因为q

评注 本题中由于公比的取值不同，通项公式也不一样，需要分类写出.

题型四 有关几何问题中，元素的形状位置不确定的需要进行分类讨论

例5 已知双曲线的中心在坐标原点，一条渐近线方程是x-2y=0，求它的离心率.

分析 双曲线的渐近线方程已知，因此可设出共渐近线的双曲线系方程.由于双曲线焦点不确定，需要进行分类讨论.

解 因为双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，因此双曲线方程可设为x2-4y2=λ（λ≠0）.

当λ>0时，双曲线方程可变为x2λ-y2λ4=1，因为a2=λ，b2=λ4，所以c2=a2+b2=54λ，所以e=c2a2=52.当λ

因为a2=-λ4，b2=-λ，

所以c2=-54λ，e=c2a2=5.

综上所述双曲线的离心率为52，5.

评注 本题中引起分类讨论的原因是对双曲线的焦点不确定；如果已知双曲线的渐近线方程且焦点位置不确定，那么双曲线的离心率应该有两个值e1，e1且满足1e21+1e22=1.

通过上面的例题分析我们可以看出，解决分类讨论问题的实质就是将整体问题化成部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设条件.它的解题步骤大致可以分成以下四步：（1）确定分类讨论的对象，即对哪个参数讨论；（2）对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不漏不重、标准统一、分层不越级）；（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）归纳总结，将各类情况归纳总结.

分类讨论思想是多年来高考的热点，同时也是同学们容易失分之处.所以同学们在平时的解题过程中需要多练习，多积累.希望以上所述能够给同学们以后的学习有所帮助.