拓展让教材“活”起来

在我们的教学经历中，很多的年轻教师都有这样的感受：总觉得自己对教材的挖掘达到了一定的深度，对教材的理解很透彻，但教学的效果往往是哑巴吃汤圆——老师自己心中有数，学生却是一头雾水。为什么会出现这种情况呢？究其原因就是老师不能有效地将自己的思维内容转化为学生的思维内容。就具体的教学过程而言，我们对教材的处理、加工不到位，不能把自己对教材的理解落实到自己的教学过程中，当然就谈不上将老师的思维转化为学生的思维了，教师只停留在自己的理解上，且不善于教学，教学效果就不一定好了。 因此，我们在教学中不仅要对教材进行挖掘，更重要的是读活教材，创造性地使用教材，从而提高驾驭教材的能力。下面我就以《工程问题》为例，谈一谈我对此的一点认识。

工程问题是小学数学教学中的一个内容之一。这部分内容选入教材一度受到批评，但是事实告诉我们工程问题有很大的现实意义，在很多的实际生活中可以找到它的原型，从工程问题中学生真正体验到了数学源于生活。因此它是作为一种典型的分数应用题出现的，是较复杂的分数乘除应用题的引深申和发展。它的数量关系和解题思路与整数工程应用题基本相同。工程问题应用题的教学，主要是用整数工程应用题引入，让学生根据具体数量解答，然后把工作总量抽象成一个整体，用单位“1”表示。通过教学，使学生理解工程问题的实际意义，掌握它的解题方法，从而运用工程问题解决一些简单实际问题，这应该说是工程问题教学之“源”。但是我们对工程问题的学习应该是利用“工程问题”的“源”解决一些“本”的问题，即在学完工程问题的知识后设计具有延伸应用实践价值的问题，来训练学生的思维和解决实际问题的能力，培养学生的数学情感。

【案例】：

师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成，师傅先做5天，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10。两个人单独做完这批零件各需几天？

面对此案例，我也曾是一头雾水，不是我解不出该题目，而是我对如何教会学生解答该类题目感到迷茫；脑海中浮现出一串串问号：如何才能以最佳的方式呈现该题目呢？如何让我的教学成为学生掌握知识的一种认知过程呢？怎样才能将我的外部指导内化为学生的能动活动呢？怎样才能唤起学生更深层次的思考？才能引导学生主动探究新知识呢…… 经过再三的思考，我找到了其中的重中之重——我们如何用教材。教材是按照学科系统性结合儿童认知规律，以简练的语言呈现数学知识的，数学知识的结构虽存在，但思维过程被压缩。学生通过教材看到的往往是思维的结果，而最关键的思维活动的过程却无法呈现，思想和方法更难以体现。此时就需要我们对教材内容的呈现进行精心的设计和加工，通过自己的教学，体现数学的思维过程和思想及方法。因此，作为一名数学教师，不仅要使学生掌握书本上看得见的思维结果，更要让学生参与那些课本上看不见的思维活动的过程。而要做到上述要求，首先我们要读懂、读活教材，把教材的精华真正的内化为自己的思想，找到教材所呈现的知识结构背后的真面目，找准知识的生长点，将知识的形成过程完整地呈现给学生，将知识的来龙去脉展现给学生；而不是把教材当成一部死书，照本宣科。只有这样学生才有可能形成较清晰的知识网络，从而达到自主的构建知识。

有了以上的认识，我首先对该案例进行了分析：此案例是一个典型的工程问题。工程问题对很多的学生和老师来说是一个顽疾，许多学生对于工程问题的认识往往似是而非，解题时照搬例题解题模式，问题稍一变化，便不知该如何解答。教师往往在教学之后进行大规模的相似题型训练，效果也往往是事倍功半。为什么？这不能不从工程问题的最大难点说起，为什么可以把工作总量看作单位“1”？如何引导学生感受到工程问题中工作总量跟具体数值无关——让学生经历从具体数值到抽象的“1”的过程？是的，工程问题的解题思路与整数应用题基本相同，仍然是工作总量除以工作效率等于工作时间，只是题目中没有给出具体的工作总量，解答是要把工作总量作为单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之几来表示工作效率。这样由于不是具体的数量，有的学生往往感到抽象，不易理解。解答该题目的基础是学生已经掌握了较基本的工程问题的解法。当然，老师对工程问题是有了一个完整的认知结构，个别较优秀的学生也许也有了，但这不代表所有的同学都有了；大部分学生不是也不能靠我们头脑中的数学思想方法就可以掌握新知识的，关键是我们要把我们的思想变为行为，同时要积极激活学生的已有知识，为学生创设“最近发展区”，只有在“最近发展区”内开展探索，才有成功的可能，只有这样，学生才能通过我们的语言、我们设计的教学过程、创设的思维空间达到知识的彼岸。基于以上认识，我设计了如下的教学过程。

一、理解 “师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成”中的“6天”，旨在引导学生有效的理解工效和：1？=1/6，意义指师徒二人合作每天完成这批零件的1/6。

二、合作演示，亲身体验，有效理解“师傅先做5天，由徒弟接着做3天”与“师徒二人合作3天，师傅接着再做2天”之间的内在联系。

建构主义认为，学是与一定的社会环境即“情景”相联系的，在实际情境中学习，有利于意义的建构，因此在这一环节中，我选择了让学生亲身体验问题情景，从而较轻松的突破了本案例的难点。我首先让两个学生上台演示两种行走方式：（一）甲先走5步，接着让乙走3步；（二）让甲乙同时出发，都走3步以后，乙停下，甲接着走2步。此时学生会发现两种行走方式的结果是一样的，只不过是改变了出发时间，最终每人所走的路程是一样的；从而让学生在潜移默化中感受在数学中我们并不是就各个特殊的现实背景从事研究，而是由附属于具体事物或现象的模型过渡到了更为普遍的“模式”。数学活动就是在现实生活中提取问题，然后运用所学的数学方法与思想去解决。数学最本质的特点是抽象性，工程问题就是一个非常典型的例子，因此在这儿通过一个我们身边存在的实例，让学生感到数学研究的就是我们生活中的现象，只不过是过渡到了更为普遍的“模式”。让学生在比较中深化自己对工程问题的认识，帮助学生理解知识的本质特征，把握知识的内涵与知识之间的内在联系。

三、在变式中拓宽。由于学生思维能力水平的限制，在学生初步建立了基本的数学模型以后，不应过早的让学生面对并解决较复杂的生活问题，而应让学生先解决相应的数学问题，在此基础上逐步形成相应的技能，然后再去解决生活中的实际问题，从而达到课本上的数学与生活中的数学在更高层次上的整合，基于以上认识，我设计了如下问题：

【变式一】甲乙两车同时从两地出发，相向而行，6小时后两车相遇。现甲乙同时从两地出发，3小时以后，甲因故停止行驶；乙继行5小时后两车共行完全程的3/4，甲乙行完全程各需要多少小时？

【变式二】甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，6小时两车相遇。现甲从A地出发，3小时以后，甲因故停止行驶；此时乙从B地处发，5小时后两车共行完全程的3/4，甲乙行完全程各需要多少小时？

有了以上的铺垫，学生对完成此案例可以说是游刃有余了。而工程问题的教学带给我的另一个启示便是我们让学生自主探究的“点”在哪儿？时机又在何时？从我的教学经历来看，如果学生几经努力，最终仍不能探索成功的话，非但完不成教学任务，还会在情感方面给学生带来负面影响，不利于今后开展“探索性”学习，或者说在什么起点上放手让学生自主探索直接决定了学生的探索能否成功。这又是值得我们深思的一个问题。事实证明师生在共同参与这样的教学过程中，大部分学生对工程问题渐渐改变了以前“谈虎色变”的心理，有了一定的钻劲。我相信，有此良好的起点，学生会由此及彼，也会将这个爱好转移到别的数学题目中去，从而从心里真正的爱数学，更爱学数学，培养了学生学习数学的积极情感。