植树问题教什么

人教版与苏教版教材中都涉及了植树问题。人教版的植树问题安排在数学广角中，而苏教版的植树问题安排在找规律里。两种版本教材所选择的出发点不同，侧重点也不同。基于不同的选材，植树问题在教学中是否有共通之处呢？笔者从以下几方面进行对比与分析，力图探索植树问题教学中需要追寻的本质是什么。

一、例题内容有隐有显

苏教版教材在题材选择上，创设了一个极其儿童化的情境（如图）。

例1

例2

这组例题旨在让学生在“小兔乐园”中探寻相关事物间的规律，从而感悟植树问题的本质。教学内容的选择上没有直接呈现显性的植树问题，只安排两道例题，练习的梯度也不大。但在练习中，呈现了电线杆、广告牌，锯木头，封闭的河堤等不同的情境，还安排了制定“植树方案”这样相对开放的活动内容。不同的教学情境，不同的形式练习，力求让学生在看似不相关的问题中发现、抽取、感悟出植树问题的内涵。可以看出，这些看似不相关的问题，在解决过程中都需要借助植树问题的基本模型，都具有植树问题的显著特征，但并没有直接以植树问题的形式出现在学生面前。这就更需要教师在教学中抽丝剥茧，引导学生归纳概括从而探寻出所学内容间的联系，揭示植树问题的本质。

人教版教材安排了三道例题，与苏教版相比，难度大得多。

三道例题层次清楚：两端都栽、两端不栽、环形情况及方阵问题。这三道例题都是典型的植树问题，与苏教版的“犹抱琵琶半遮面”相比要显性得多，其目的是力求使学生在简单的植树问题的解决过程中，积累解决问题的基本活动经验，从而形成解决问题的技能。

二、建模思想相融、相通

苏教版教材与人教版教材在解决植树问题中呈现问题的切入点是不相同的。苏教版教材重在“找”规律。“找”——由表及里逐渐认识规律，以丰富多样的学习活动突出数学化过程。人教版教材重在问题解决。“解”——由少及多、去繁就简逐步形成技能，以渗透丰富的数学思想方法。而无论是“找规律”还是“解决问题”，最终都归于一点：建模。

就苏教版例1而言，学生首先要在复杂的情境图中找出哪两个事物之间具有联系，进而发现夹子与手帕、小兔与蘑菇、木桩与篱笆的相关性。观察发现这些相关事物都具有一一间隔排列的规律，在此基础上数出各相关事物的数量，从而发现排在两端的事物总比中间的事物多一这一现象。学生通过对以上三个例子的观察、发现形成不完全归纳，再通过进一步的活动，如摆一摆、画一画、说一说等环节验证规律，从而在“找”规律的过程中建立起植树问题物体与间隔数之间排列现象的基本模型。

人教版教材的例1出示了一道典型的简单植树问题。要解决这样的问题，学生需要理解两点：1.“两端要栽”是什么意思；2.100÷5得到的是什么。对第二点的理解，对学生而言是有一定难度的。这其中渗透了化归的数学思想。只有找到“100米小路每隔5米栽一棵（两端要栽）”排列的规律，才能顺利理解20的含义，从而有效地解决问题。找规律成为解决问题的手段之一。学生在解决问题的过程中遇到困难而自发形成“找”的意识。意识的形成过程不是教材直接给予或强加的，而是一种需要，一种主观反映。同时，“找”需要正确的方法与技巧，教师可以引导学生从较小的数据入手，借助画图，先画得少一点，10米、20米、30米……观察发现规律、验证推理，进而由部分想象整体。不难看出，在例1的学习中，学生经历了解决问题的全过程，猜想——验证规律——计算归纳从而解决问题。

对比两种版本教材中的例1，在例题编写的目标方面，人教版更注重问题解决的体验，注重化归思想的渗透，可以说是在问题的解决过程中建模，而苏教版注重规律的探索，符号思想的形成，可以视为是在找规律过程中建模。两者虽都是在建模，但建模所采用的方法不同。于是人教版的植树问题似乎显性一些，受奥数题的影响更大，其本质却不是简单地照搬奥数题。苏教版的植树问题则相对隐性得多，看似与奥数题的关系远一些。所以就笔者看来，两种版本的教材对植树问题的引入其切入点不同，推理方法不同，问题达成度也不同，但建模的过程却是相通、相融的。

因此，在教学中，我们需要把握住教学的本质，不追求简单解题，而注重建模、注重化归思想的渗透、注重符号意识的培养。

三、教学中“舍末求本”

教过植树问题的老师都知道，植树问题中的两端物体与中间物体之间有规律。通常老师们都会将规律以三道等式的形式呈现给学生，即：（1）两端都种：物体数=间隔数+1，（2）一端种一端不种：物体数=间隔数，（3）两端都不种：物体数=间隔数-1。甚至要求学生记忆，在今后解题时直接套用公式，达到表面的快速、高效。这样的处理就使教学走向了舍本求末的误区。

学生学习数学，获得必需的数学知识和技能当然是重要的，但不应是唯一的目的。学习数学要学会用数学的视角看世界，用数学的方法去认识客观世界中各式各样的事物，学会通过数学思考去把握千变万化的现象。

对比两种版本的教材，都或多或少地涉及到“形”的区分，但其目的应该并不是为了归纳出上面的三道公式。

例如：人教版例1是两端都种的情况，例2以一种特殊形式出现，两边的建筑无形中成了两端物体。如果学生在例1的学习中已经初步建立起“||||…|”的模型，那么，此时模型中，例2两端的建筑就相当于首尾的“|”，也就可以视例2是例1的补充或特例，是在例1基础上的再深入。

苏教版的教材中，只有一道练习题（如图）涉及到这样的分类思考。但很多时候，在教学时，很多老师会在例1就以板书的形式整理出上述的三道公式。

就上面的练习题而言，重点不在归纳出间隔排列的细微区别，以得出三道公式，而更重于使学生体会间隔排列的多样性，以培养学生的发散思维能力。教师需要让学生明白一点，无论两端放或不放花，结果虽有所改变，本质依然是符合一一间隔排列规律的。在教学中，教师可以借助基本模型帮助学生体会变与不变的价值。（如图）

（1）两端都种（基本模型）：||||…|

（2）一端种一端不种：||||…|

||||…|

（3）两端都不种：|||…|

这三种形式是否都可以归为一种形式？

数学的学习应该是更简洁、更方便，而不能成为公式的简单堆积。教学时，需要使学生在思辨中推理、归纳、概括出解决一类问题的一般方法，而不是将一类问题进一步细化成若干不同形式的问题，再套用看似不同的公式来解决问题。那是奥数的做法，为解题而生，不是植树问题应该具有的数学思想。

综上所述，植树问题的教学，教师需要明确以下几点：1.重在帮助学生建立模型思想，在解决问题的过程中突出化归思想，以简单的模型贯穿始终，从而帮助学生以不变应万变，学会思考并解决复杂的问题；2.尊重数学规律的简洁性、普适性的特征，不要以三道公式的简单记忆代替学生的数学学习，不能以解题代替学生的数学思维能力的培养，更不能将奥数中的植树问题简单“拿来”，我们在教学中要真正把握住“本”，做到透析教材，“舍末求本”。（作者单位：江苏省泰兴市鼓楼小学）