试论小波分析法在土木工程中的应用

摘要：本文简要介绍了一维小波分析的基本原理和分类，及其在土木工程领域的主要应用。重点论述了小波变换在结构损伤检测方面的应用。由小波分析的数据中提取人工神经网络的训练样本能够更好的反应结构缺损特征，故小波分析或以小波分析为基础的人工神经网络方法是结构损伤识别的一种很有前途的方法。

关键词：小波变换，小波分析，损伤检测，小波神经网络

对小波分析法的简述

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲》对小波的普及起了重要的推动作用，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

“小波”就是小的波形。“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频的时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技资讯产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是影像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与影像处理可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

小波分析法的应用领域

长期以来，傅立叶分析一直被认为是最完美的数学理论和最实用的方法之一。1946年Gabor提出的加窗傅立叶变换就是其中的一种，但是傅立叶变换还没有从根本上解决傅立叶分析的固有问题。用傅立叶分析只能获得信号的整个频谱，而难以获得信号的局部特性，特别是对于突变信号和非平稳信号难以获得希望的结果。为了克服经典傅立叶分析本身的弱点，人们发展了信号的时频分析法，但是傅立叶变换还没有从根本上解决傅立叶分析的固有问题。小波变换的诞生，正是为了克服经典傅立叶分析本身的不足，现在小波分析法的应用是十分广泛的，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；电脑分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在影像处理方面的影像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高解析度等。(1)小波分析用于信号与影像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与影像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包的方法，小波网域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘侦测等。(3)在工程技术等方面的应用。包括电脑视觉、电脑图形学、曲线设计、湍流、远端宇宙的研究与生物医学方面。

（三）小波分析法在土木工程中的应用

随着大型土木工程的兴建,采用先进的仪器和科学的方法来进行在线监测和诊断对结构健康状况的评估起着越来越重要的作用.但无论是基于固有频率变化,还是振型变化,以及基于柔度或刚度变化的测量方法,都存在着一个共同的局限性,就是对微小损伤和疲劳损伤的识别,由于其探测灵敏度不够,显得力不从心,因此需要寻找一种更有效的损伤检测手段.小波变换作为一种新的信号处理方法,综合了时域分析方法和频域分析方法的优点,属于多分辨率的时频分析方法,具有伸缩、平移和放大功能,可以用不同的尺度或分辨率来观察信号,实现既在时域又在频域的高分辨局部定位,对于非平稳信号的处理是非常适合和必要的,正是结构损伤检测的基本要求.给出了结构整体进行损伤判别的方法,将各层能量在各频段进行分解,通过能量变化情况给出了结构损伤程度的判定方法,并且在三层钢筋混凝土框架结构的损伤判别试验中得到应用,试验结果与理论分析吻合较好,从而证明了提出的损伤判别方法的可行性与准确性.在施工过程中结构发生损伤后，某些线性连接点变为非线性，造成其固有频率和刚度的改变，进而使得结构的动力响应发生变化。线性和非线性系统动力特性的主要差别之一是非线性系统具有高次谐波和亚谐波。利用小波变换分析结构损伤前后的时域和频域响应，可以确定诸如高次谐波、亚谐波以及混沌现象等系统响应的动力学特性，进而检测结构的非线性 。通过小波分析局部扩大和局部压缩的特性，可以对微弱信号进行检测，这在结构损伤初期的检测中是非常重要的。（1）直接利用小波分析检测损伤，利用小波分析进行损伤检测较多的集中在复合材料损伤研究上 。复合材料由于其重量轻、刚性好，已广泛应用于航空航天结构和许多民用工程结构，其损伤可导致结构性能的严重下降，因此发展连续健康监测和自动报警技术尤为重要。一般采用在复合材料结构模型（如悬臂梁）上粘贴压电材料，分别作为作动器（产生激励）和传感器（感受振动信号）。利用有限元数值仿真，假定在仿真过程中某些单元发生损伤，将被测点动力响应，如位移、速度或加速度，进行小波分解。通过小波分解后各阶信号波形上的突变点能够准确的判断损伤的发生。由于小波分解后的信号比原始信号的分辨率高的多，利用小波分解信号的奇变性，可以识别原始信号中无法直接识别的突变。利用小波变换对结构在地震作用下带有噪声的位移响应信号进行低周疲劳信号提取。低周疲劳模型采用结构在随机时刻点上某些构件由于承受冲击荷载而导致的刚度下降来模拟，得到了以下研究成果：A）用序号N较大的正交小波可以很好的估计有噪声条件下疲劳破坏的发生时刻，B）用小波分析可以精确的识别诸如下降刚度等系统参数。利用时程分析程序计算结构动力响应，并在其过程中允许结构中某些构件发生损伤如支撑刚度突然全部消失或部分消失。这些损伤造成了加速度的不连续，而这种不连续在加速度曲线中是难以观察的。将得到的加速度响应信号进行离散小波变换，通过分解后高频波形上的突起来判断损伤的发生和发生的时刻。分析过程将对多个结点加速度进行小波分解并通过分解后带有突起的结点在整个结构中所处的空间位置来判断损伤的位置。

（四）小波分析与其他方法联合运用

此方法多是把小波分析作为前置处理手段，可先利用小波变换的消噪性能对原始信号进行除噪，再对信号进行奇异性检测等其他处理 。小波分析可以单独定位损伤，但都不够精确。此方法是先利用损伤后构件各阶振型的残余量，求出曲率模态，再通过小波分析得到曲率模态的小波分解灰度图 ，进而推断出损伤位

置。这种联合方法提高了损伤识别的灵敏性和精确度，但只运用到一维梁构件上，对于更复杂的情况需要进一步研究。小波分析可以聚焦到信号的任意细节进行时频域处理，因此适用于非平稳信号振动波形特征提取。故可以先利用小波分析对原始信号进行分解，提取各水平的小波细节的能量特征参数等与损伤相关联的特征量或小波重构系数的统计特性，如：波形指标，峰值指标，能量指标等，输入BP神经网络或小波神经网络，作为网络的输入参数，利用神经网络的识别功能判断损伤情况 。采用小波分析和神经网络算法，通过将测得的原始结构和损伤后结构的振动数据比较，估计损伤发生的位置及程度。首先利用小波分析的时频定位特性提取突变发生位置，而模态形状变化的大小反应损伤程度，故它可以预测结构的完整性。神经网络则通过映像小波分析中提取出的振动特征的函数来量化健康状态参数。

3.小波变换在结构振动方面的应用。结构抗震分析中的应用 地震动属于非平稳信号，而小波变换在处理非平稳信号上具有不可比拟的优势。国外有一些研究者已经将小波分析应用于结构震动方面，国内也有一些研究者应用小波分析法地震作用下结构的动力响应 。主要利用小波变换对地震作用下结构的动力反应进行了分析和计算，并利用能量分配关系分析了各频段范围内地震输入分量对结构反应的作用程度。通过算例知道，小波变换可以对提取的任意频率范围内的输入进行动力分析，且较傅里叶变换有明显的优点。

3，小波分析法在工程图像压缩中的应用。小波分析法的膨胀和平移运算可以对信号进行多尺度的细致的动态分析，从而能够解决Fourier变换不能解决的许多困难问题。利用小波变换可以一次变换整幅图像，不仅可以达到很高的压缩比，而且不会出现JPEG重建图像中的"方块"效应，但编码器复杂，有潜像问题。 由于小波及小波包技术可以将信号或图像分层次按小波基展开，所以可以根据图像信号的性质以及事先给定的图像处理要求确定到底要展开到哪一级为止，从而不仅能有效地控制计算量，满足实时处理的需要，而且可以方便地实现通常由子频带、层次

编码技术实现的累进传输编码（即采取逐步浮现的方式传送多媒体图像）。这样一种工作方式在多媒体数据浏览、医学图片远程诊断时是非常必要的。另外，利用小波变换具有放 大、缩小和平移的数学显微镜的功能，可以方便地产生各种分辨率的图像，从而适应于不同分辨率的图像I/O设备和不同传输速率的通信系统。相比之，利用KL变换进行压缩编码，只能对整幅图像进行；而利用小波变换则能够比较精确地进行图像拼接，因此对较大的图像可以进行分块处理，然后再进行拼接。显然，这种处理方式为图像的并行处理提供了理论依据。由于小波变换继承了Fourier分析的优点，同时又克服它的许多缺点，所以它在静态和动态图像压缩领域得到广泛的应用，并且已经成为某些图像压缩国际标准的重要环节。由于小波分析克服了Fourier分析的许多弱点，因此它不仅可以用于图像压缩，还可以用于许多其他领域，如信号分析、静态图像识别、计算机视觉、声音压缩与合成、视频图像分析、CT成像、地震勘探和分形力学等领域。所以许多工程在施工过程中会运用此类方法。

参考文献：

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[2] 胡昌华，张军波等.基于 MATLAB 的系统分析与设计――小波分析[M]. 西安：西安电子科技大学出

版社，1999.

[3] 段雪平，朱宏平. 地震作用下结构动力响应的小波分析[J]. 华中理工大学学报，2000，11：75-78.

[4] 马坚伟，杨惠珠，朱亚平.地震波形多尺度反演的一点讨论