强化目标意识 提高解题效益

目标意识，是指人们在完成某件工作中，对目标重要性的认识．在数学解题教学过程中，目标意识具体体现在分析问题、解决问题时，对解题目标的重视程度．许多高中生在解答数学问题时，往往只重视题设条件的运用，而忽略了解题目标对解题过程的启示，导致所选方法不当、计算量大、过程繁琐等问题，甚至找不到解题途径，影响解题效益．为此，在日常数学解题教学中，重视培养学生的目标意识，提高解题效益，无疑是十分重要的．下面结合笔者的高中数学教学实践，谈谈如何强化学生的目标意识，提高解题效益．

一、注意目标的导向性，以便合理有效地运用解题条件

问题的结论不单告诉我们解题的目标，更重要的是它所提供的信息能提示我们合理有效地运用条件，引导我们迅速找到解题的方向和突破口．

例1．已知α、β为锐角，并且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0．求证：α+2β=．

分析：根据解题目标“α+2β=”，联系所给条件，应设法把含β、2α的三角函数式变为含α、2β的三角函数式，这样，就不难找到解题的思路．

由3sin2α+2sin2β=1得3sin2α=1-2sin2β=cos2β，①

由3sin2α-2sin2β=0得3sinαcosα=sin2β，②

①、②相除得tanα==tan（-2β），

α、β为锐角，α、-2β∈（-，），

α=-2β，即α+2β=．

例2．已知n∈N*，若对任意实数x，都有xn=a0+a1（x-n）+a2（x-n）2+…+an（x-n）n，则an-1的值为（ ）.

A．n2 B．nn C． D．

分析：此题的解题目标是“求an-1的值”．通过观察题设条件的形式可联想到二项式定理，进而明确解题目标就是求二项展开式中含（x-n）n-1项的系数an-1．而要出现（x-n）n-1这样的项，应尽量在二项式定理的左边构造出含（x-n）n-1的项．明确目标后，考虑题设条件可得xn=［n+（x-n）］n，又［n+（x-n）］n=C0nnn+C1nnn-1（x-n）+…+Cnn-1n（x-n）n-1+Cnn（x-n）n，对比系数可知an-1=Cnn-1n=n2，故选A．

可见，重视目标的导向性，能使思维更有效，思路更清晰，做到有条不紊，进而提高解题效益．

二、注意目标的确定性，以便简洁快速地寻求解题方法

“四选一”型选择题是数学命题中的常见题型．解此类选择题并不要求学生完整表达出获得结论的过程，只要求迅速地就命题的结论作出正确的判断．为此，对于某些选择题，我们可根据目标的确定性（只有一个正确的选择支），灵活选用有别于解其它题型的解题方法，找到解题的最佳方案．

例3．定义在R上的奇函数f（x）为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：

④f（a）•f（-a）≤0；②f（b）•f（-b）≥0；③f（a）+f（b）≤f（-a）+（-b）；④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．其中成立的不等式序号是（ ）.

A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③

分析：本题是一道有关抽象函数的题目．解此题的常规方法是运用函数性质（单调性、奇偶性）对4个不等式进行判断．由于所给函数是一个抽象函数，a、b又是未知的，常规方法做起来还是有一定难度的．为此，须另辟蹊径．根据目标的确定性，化抽象为具体，只要取f（x）=-x，逐项检查可知①④正确．故选B．

例4．给定四条曲线：①x2+y2=；②+=1；③x2+=1；④+y2=1，其中与直线x+y-=0仅有一个交点的曲线是（ ）

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

分析：本题的一般方法有两种：一是解4个方程组，然后作出判断；二是画4组图形，得到结论．两种中不管是哪一种，计算量都较大，耗费的时间多．实际上，根据目标的确定性，只要分析四个选择支，即可知四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找出不符合条件的曲线进行筛选．而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线+=1是相交的，因为直线上的点（，0）在椭圆内，对照选项，应选D．

由此可见，对于某些选择题利用“目标是确定的”这一特性，往往能简化计算，迅速地就命题的结论作出正确的判断，提高解题效益．

三、注意目标的等价性，以便化难为易，化繁为简地处理问题

有些数学命题，若直接由题设条件推导结论，难度较大，解答繁琐，甚至找不到解题途径．若运用转化的思想把它化为等价命题，则显得简单易行，大有“柳暗花明又一村”之功效．

例5．求证：当-1≤a≤3时，不论k为何实数，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有公共点．

分析：本题的常规解法有两种：代数法――联立方程组，利用≥0考虑求解，此法计算繁琐；几何法――圆心到直线的距离d≥r，即≤恒成立，再进行求解，此法计算亦繁琐.

事实上，把圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0化为（x-a）2+y2=2a+4，注意到直线y=kx+1恒过定点（0，1），则原题解题目标等价于“点（0，1）在圆内或圆上”，即（0-a）2+12≤2a+4，a2-2a-3≤0，-1≤a≤3．

例6．方程2x-x2=的正根个数为（ ）.

A．0 B．1 C．2 D．3

分析：本题学生很容易直接去分母得方程2x2-x3=2，然后解方程，不易实现目标．

事实上，若引入辅助函数y=2x-x2和y=，在同一坐标系中分别画出它们的简图，则原题解题目标等价于“抛物线y=2x-x2与双曲线y=在第一象限内公共点个数”．事实上，由图象容易发现它们在第一象限没有公共点，即可选A．

由上面的例子可以看出，注意目标的等价性，运用转化的思想，把命题化为等价命题解答，是提高解题效益的重要手段，在教学中应引起足够重视．

四、注意目标的整体性，以便用辩证的观点快速地解决问题

目标的整体性是指目标是一个统一的整体．在解题过程中，目标的特征难以导出或无法确定，不易实现解题目标，若用整体的观点，则容易由题设条件导出它的整体结构，达到解题的目的．

例7．等比数列｛an｝中，a1+a3=5，a2+a4=10，则a6+a8等于（ ）.

A．80 B．96 C．160 D．320

分析：本题的常规方法是回归两个基本量：首项a1，公比q．将两个题设条件全部转换成只含a1和q的式子，通过解方程组求出a1和q，代入a6+a8=a1q5（1+q2），可以获解．

但这种常规方法计算量相对较大．若充分利用整体的观点，把a1+a3的值作为一个整体，由a2+a4=q（a1+a3），易得q=2，则a6+a8=q5（a1+a3）的值是确定的（目标整体性确定），易求得a6+a8=5×25=160，故选C．

例8．一个等差数n列的前项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）.

A．-24 B．84 C．72 D．36

分析：本题的常规方法还是回归两个基本量：设首项为a1，公差为d．利用等差数列的前n项和公式，列出方程组na1+n（n-1）d=48，①2na1+×2（2n-1）d=60，②许多学生认为这是个三元方程组，无法求解，找不到解题途径．部分学生虽懂得把n看作已知量，由方程组解得a1和d（含n的代数式），再代入等差数列的求和公式，消去n，算出S3n的值．但解题过程复杂，计算量大，易出差错．若用辨证的观点分析已知和所求，充分利用整体思想，则不难发现S3n=3（S2n-Sn）=36，选正确答案为D．

显然，注意目标的整体性，用辨证的方法解决问题也是提高解题效益的重要手段．

五、注意目标的再生性，以便简化思维，提高解题效率

目标的再生性，是指解题步骤中所得到的结论，对实现解题目标具有参考价值．许多学生往往只考虑题设条件的运用，而忽略解题步骤中所得到的结论，可在后面解题过程中作为条件，用来实现解题目标，从而造成解题思路变窄，解题过程冗长，甚至无法实现解题目标，致使一筹莫展，找不到解题途径．

例9．已知f（x）=+lg，①求证：f（x）的图象必过点（0,）；②求证：f（x）在定义域区间上是减函数；③解关于x的不等式：f（）＜．

分析：①②小题略．对于第③小题，许多学生根据题设条件把原不等式化为不等式+lg＜，然后，考虑解此不等式，却无法找到求解的方法．这是缺乏目标的再生性意识的表现．

事实上，由第①小题结论，得f（）＜=f（0），再由第②小题结论结合f（x）的定义域，得0＜＜1，即0＜x＜1，问题即可解决．

可见，注意目标的再生性，调整思维的方向，能避免解题过程中的盲目性，提高解题效益．