“圆与圆的位置关系”的课程难度变化及其对教学指导的探究

摘要：本文借助史宁中教授等人的课程难度量化分析模型，对我国2011年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）与2000年的《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）中“圆与圆的位置关系”的内容难度进行对比分析，以此考察初中几何课程、教学内容的发展变化，希望对教师的实践教学提供一些建议与指导。

关键词：圆；课程难度；教学指导

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）09-0159-02

一、背景

圆是日常生活中常见的图形之一，也是平面几何中最基本的图形之一，它不仅在初中几何学习中有着重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学的重要的基础。本文在本课题组成员郑泽娜的《圆课程难度的定量分析比较》[1]的基础上对“圆与圆的位置关系”进行课程难度定量分析，通过比较《大纲》和《标准》中该模块的课程难度变化，进一步探究该模块的课程难度变化及其对教师教学实践的指导作用。

二、课程难度量化比较

（一）课程广度比较

通过对比《大纲》和《标准》中的“探究并理解圆与圆的位置关系”的内容，相比《大纲》，《标准》减少了五个知识点：①两圆的连心线的性质；②两圆的公切线的性质；③两圆的外公切线的作法；④两圆的内公切线的作法；⑤切线在作图中的应用。总体上，《大纲》中“圆与圆的位置关系”的知识点个数为6个，即课程广度G1=6；《标准》的知识点个数为1个，即课程广度G2=1。

（二）课程深度比较

总体上，对比《大纲》，《标准》中“圆与圆的位置关系”这一知识点的课程深度基本保持一致，而其他的五个知识点均被直接删除。即《大纲》中相应课程内容的总体课程深度=16；《标准》中相应课程内容的总体课程深度=3。

（三）课程实施时间

“圆与圆的位置关系”在《大纲》下的教科书中安排7个课时，于是课程实施时间T1=7；在《标准》下的教科书中安排5个课时，于是课程实施时间T2=5。

（四）课程难度变化

根据以上课程广度、课程深度和课程实施时间三个方面的数据，代入课程难度模型（1），即可得到《大纲》和《标准》的课程难度分别为，（其中，α=0.6）。很显然，在这个难度模型下，《标准》中“圆与圆的位置关系”的课程难度比《大纲》中的低了1.27，即总体课程难度降低了1.27。

三、教学启发

分析以上数据可知，“圆与圆的位置关系”的课程难度大大降低了，由于《大纲》和《标准》中该模块的课程广度和课程深度都发生了较大的变化，影响课程难度变化的主要原因是课程广度的变化进而引发的课程深度变化。以下将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间和总体课程难度变化四个方面对教学实践的启发和指导。

（一） 课程广度变化对教学实践的指导

基于上述分析可知，相对《大纲》，《标准》中该模块的课程广度大大减小了。课程内容增强了对课程目标服务的选择性，为数学教学内容指出了方向，根据时展要求，考虑学生可持续发展的数学需求，删除了一些不常用的知识点，诸如两圆的连心线、公切线性质等知识点，使得教育面向全体学生，减轻部分学生过重的学习负担，并与现实生活以及当代科技相需求相结合，最大程度体会数学从生活中来，最终服务于生活。

所以，教师在具体实践教学中，应当紧紧围绕《标准》的教学要求，根据新的教学要求进行相应的教学，不要顺着老思路继续讲解那些已经被删除的知识点及其延伸出来的题目，更不要讲怪题、难题，而应围绕“探究并理解圆与圆的位置关系”这一要求进行课堂教学。现以《大纲》中“圆与圆的位置关系”的一道经典例题为例。

“证明：相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦（连心线：连接两圆的线段）”。此例题不只是简单呈现圆心距与两圆半径大小，而是要求学生在掌握判断两圆位置关系的基础上，学会如何利用圆与圆的位置关系来证明两圆位置连心线，公共弦的位置关系，对学生来说具有一定难度，也与《标准》中的教学要求不一致，不应再继续讲解。

（二） 课程深度变化对教学实践的指导

基于以上对“圆与圆的位置关系”课程深度变化分析可知，《标准》对《大纲》中该模块的知识点进行了部分删除，保留下来的“探究并理解圆与圆的位置关系”的难度也跟《大纲》基本一致，进而使得知识点涉及面较少，要求学生掌握的知识点减少，降低了总体的课程深度。

因而，教师在进行教学的过程中应当针对所保留下来的知识点，围绕知识点进行课堂教学，让学生多动手多动脑，加深学生对知识点的理解与掌握，并培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力。现以《标准》中“圆与圆的位置关系”的一道经典例题为例。

“已知两圆半径之比是5：3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何”。该例题只要求学生掌握判断两圆位置关系，只要知道圆心距d与两圆的半径大小，便可判断两圆的关系，解题思路简单清晰，考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力。所以教师在教学过程中应当积极引导学生动手动脑，培养学生的空间想象能力，动手能力，分析、概括等理性思维的能力。

（三）课程实施时间变化对教学实践的指导

基于上述分析可知，相比于《大纲》，《标准》中该模块的课程实施时间减少了两个课时，但由于课程广度与课程深度的大大减小，使得教师在课堂教学中仍有足够的时间去讲解分析。部分知识点的删除，这启发着教师在课程教学中切勿将时间浪费在已被删除的知识点及其延伸出来的题目，而应紧紧围绕《标准》的教学要求，将时间用在讲解“探究并理解圆与圆的位置关系”这一内容上。

另一方面，课程实施时间的减少也启示着教师在教学中应分析学生、分析教学内容、分析课程标准和分析教学目标，并且改变教学观念、教学方法，以此提高课堂的教学效率。且在时间允许的情况下，完成《标准》中的许多探索将对学生更好的掌握知识有着很大的帮助，从而培养学生的发散思维能力和推理能力。

（四）课程难度变化对教学实践的指导

基于上述课程难度的比较分析可知，相比于《大纲》，《标准》中“圆与圆的位置关系”的总体课程难度系数大大降低了，即该模块的课程难度大大降低了。课程广度、课程深度、课程实施时间三个方面的变化，归根结底就是课程难度的变化。根据上述分析可知，相对《大纲》，《标准》中该模块课程中知识点的删除，使得课程广度大大减小，进而使得知识点涉及面较少，要求学生掌握的知识点减少，降低了总体的课程深度，而课程实施时间的变化不大，最终使得总体课程难度降低了。

《标准》中“圆与圆的位置关系”的课程难度降低，在新课程的潮流下，广大的教师在实践教学中都应有所调整，尤其是一些年龄较大的教师，不要继续顺着老思路，讲解那些已经被删除的知识点及其延伸出来的题目，更不要讲脱离教学要求的怪题、难题。而应紧紧围绕新的教学要求作出相应的教学改变，并以此进行相应的教学，落实于基础概念、基础知识点，掌握判断两圆的位置关系以及对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力。教师在课堂教学中注意让学生多动手多动脑，加深学生对知识点的理解与掌握，并培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力。教师应当激发学生的学习兴趣并调高学生的学习主动性，提高他们的数学思维能力，使学生最大程度体会数学从生活中来，最终服务于生活。

参考文献：

[1]郑泽娜.圆课程难度的定量分析比较[J].数学学习与研究，2015，（9）：38-39.