不完全市场下的期权定价理论综述

摘要： 由于B-S定价公式是在完全市场条件假设下推导出来的，这与现实存在很大的出路，因此后来的学者就针对市场条件状况，研究了不同市场条件下的期权定价，其中以不完全市场条件下的期权定价为主，这显然与事实更加吻合。不完全市场主要可以分为带交易费用的期权市场、存有违约风险的期权市场以及信息不完全的期权市场。文章在此基础上，分析总结了在这个市场假设条件下的研究现状，并给出了未来值得深入研究的方向：主要是进一步放松B-S定价模型的假设条件，引入更多的现实因素，深入研究不同市场状况下的期权定价问题。

Abstract： Because B-S option pricing formula was derived under the assumption of complete market condition， which was inconsistent with the reality， according to market condition， the later scholars studied the option pricing under different market conditions， including imperfect market， which was obviously more consistent with fact. Imperfect market mainly was divided into option market of transaction cost， options market of default risks， and incomplete information market. Based on that， this paper summarized the research status under this market hypothesis， and gave the further research direction， mainly， further easing the assumptions of B-S pricing model， introducing more realistic factors， studying the option pricing problem under different market conditions in depth.

关键词： 期权定价；不完全市场；交易费用；违约风险

Key words： option pricing；imperfect market；transaction cost；default risk

中图分类号：F830.59 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）05-0014-04

0 引言

期权是指期权合约的购买者拥有权利在预先约定的时间以预先约定的价格购买或卖出约定数量的标的资产。期权的基本特征在于它给予合约持有人的是一种权力而非义务，如果期权合约的购买者认为现行的市场价格比合约中的执行价格对他更有利，他便会放弃对期权合约的执行。期权使合约持有人的交易风险被限在某一水平之下，从而形成一种防范和规避风险的有效手段，因此期权合约的风险在买卖双方之间并不是完全对称的。然而，期权持有者获得权利并不是免费的，他要为此付出“代价”，这就产生了期权定价问题。

自从美国经济学家布莱克（Fischer.Black）和斯科尔斯（Myron.Scholes）1973年在《政治经济学期刊》杂志上发表了题目为《期权和公司债务的定价》的经典论文后，Black-Scholes模型成为期权定价的最经典的方法，几乎所有后来的期权定价模型都直接或间接的引用了该模型。然而B-S模型不足的是：它是在很多与现实明显不符的假设条件下推导出来的，即是在比较理想的完全金融市场中得出的，如模型假设无交易费用、允许卖空、无违约风险、投资者的信息完全等，均与现实情形相悖，这就会大大限制了模型的使用和推广。

鉴于此，后来的学者在B-S模型的基础上，通过拓宽假设条件，引入与现实较一致的市场状况，获得了一系列改进版的期权定价模型。与完全市场相比，这是在不完全市场中推导出来的。而随着期权市场研究的深入，越来越多的学者认识到市场是不确定的，并在此基础上又给出了不确定市场环境下的期权定价模型。本文在这样的背景下，针对不完全和不确定环境下的期权定价模型的研究现状进行评述，以期给后来的学者提供一个可以继续深入研究的方向。

在本文中，不完全市场主要包括带交易费用的期权市场、存有违约风险的期权市场以及信息不完全不对称的期权市场；不确定性市场下期权定价研究主要是指包括模糊环境下的期权定价模型，主要有模糊环境下的欧式期权定价、美式期权定价、模糊环境下的二叉树定价和实物期权定价。下面将一一予以评述。

1 不完全市场条件下的期权定价

Black-scholes期权定价公式的假定前提是金融市场是完全市场，如无交易费用、允许卖空、交易时间连续、交易信息完全、无违约风险等，在这一假设下给出了期权价值的估计方法。然而现实的金融市场是不完全的，期权的完全复制策略不一定存在，因而就难以用这种方法得到合理的定价。鉴于此，不完全市场中的期权定价问题近年来就成为了研究的焦点，不完全市场的情形主要有：带交易费用的期权市场、存有违约风险的期权市场、信息不完全的期权市场等。

1.1 带交易费用的期权定价问题

在现实的金融市场中，投资者将面临数量可观、不容忽视的交易成本，运用连续交易保值策略是不现实的，即由于股票价格的易变性，为调整组合证券头寸而进行连续的交易保值，其成本是昂贵的。因此纵多的学者研究了在带有交易费用的期权市场条件下怎样使得期权的价格更加合理，以满足投资者管理资产风险的要求。

期权作为一种套期保值的金融工具，其出现的目的就是为了丰富市场上的金融衍生品数量，以使得有更多的套期保值对冲策略可供投资者选择。对于这最基本的也是最重要的作用，有很多学者致力于提出较为精准的对冲策略以达到投资者的套期保值的目的。

比如Haynee. Leland[1]在前人研究B-S对冲策略的基础上，探讨了在离散时间下带交易费用的投资组合对冲策略，给出了一种修订版的对冲策略，即依赖于交易费用的大小和头寸调整的频次。用实例分析得出：修订版的策略可以有效地控制带交易费用的期权收益率，且随着两次调整日期的缩短，这种策略可以更加精确地控制风险。然而其所提出的对冲策略考虑的不够完全，没有将调整的日期作为一个可供选择的变量，以及没有将标的资产的潜在价格考虑进去。

关于这未涉及的研究方面，Magill和Constantinides[2，3]都有开始探索这些重要的领域。Phellmf. Boyle和Ton Vorst[4]也进行了类似的研究，在带一定比例的交易费用的情况下和在离散时间模型的框架下，推导出了一个程序方法以估算期权价格，进而给出了资产组合的对冲模型，这是二叉树期权定价模型的一个拓展。然而不足的是：实例分析中只论证了欧式看涨期权，没有扩展到看跌期权，以及没有给出两者之间的平价公式，这是不完整的。

对于资产套期保值的研究，还有一些其他的方向，比如Yonggan Zhao和William T. Ziemba[5]基于资产组合应用技术，研究了一个定价和对冲模型，采用的不是外生因素来衡量易变性，而是用内生因素，并随着时间的变化而对模型进行调整，这与使用delta对冲相似；以及Michael Monoyios[6]发展了一种有效的算法，用马尔可夫近似方法来求解带交易费用的期权定价模型。在这个基础上，提出了一个对冲策略，并估算了期权价格和对冲策略的性能。一个有效的资产组合对冲策略可以很好地将资产的风险值锁定在一个预期的范围内，然而一个有效的对冲策略离不开给期权进行较为准确的定价。

作为期权交易中的基础，期权价格的准确与否直接影响期权交易双方的收益情况，对于期权定价的研究，大部分学者都是在经典的B-S模型的基础上，通过放松假设条件，给出更加符合现实的定价模型。如P. Amster ， C.G. Averbuj和M.C. Mariani[7]将边界价值问题考虑进非线性的微分方程中，进而构造出带交易费用的B-S期权定价模型，之后用上、下限的求解方法以获得静态问题的解，且还推广到一般问题上，给出了一般进化方程的求解公式，这是一个有益的尝试。对于边界问题的研究，Mark H. A. Davis和Vassilios G. Panas[8]在效用最大化的基础上，研究了一个新的概念：欧式期权的书写价格。在考虑边界条件的情况下，证实了用价值函数的方法求解比较有效。

对于期权价格上、下限问题的研究，George M. Constantinides和Stylianos Perrakis[9]推导了基于可观察买权和卖权的书写价格的期权价格上限，以及基于可观察买权和卖权的购买价格的下限。在一定交易费用的情况下，通过将随机支配因素引入到衍生产品中去，进行求解期权价格上、下限，作类似研究的学者还有Perrakis和Levy[10，11]。

国内对于期权定价的研究在近几年也逐渐成为热点，并取得了一些可观的成就。秦洪元[12]在弱化经典期权定价公式Black-Scholes模型假定的基础上，结合效用无差别理论定价方法，引进了交易成本和交易限制的情况，并将股票价格的异方差性引入到交易成本框架之内，提出了CEV（Constant Elasticity of Variance）模型和给出了实证检验，检验结果表明CEV模型比几何布朗运动能更好地描述股票价格的运动过程。然而这个模型的不足之处在于：作者建立的带交易成本的市场模型还是仅仅考虑了单风险资产和无风险资产的简单情形，还不能完全反映金融市场的实际情形；另外模型中交易成本都仅限定为比例交易成本，而在实际中除了比例交易成本外还有固定交易成本。这表明关于这方面的研究还有待进一步的探讨，怎样能将更多的现实条件考虑进去是一个值得深入思考的问题。

在CEV模型的基础上，有学者进一步的研究了CEVP模型，如李其拉[13]在研究中考虑股票市场有交易费用的情形，通过无套利对冲原理，建立了在CEVP下的期权定价模型，并推广到了一般随机过程的情形。但是在模型中，假设条件过多，最后导致只能通过简化相应的假设来获得定价公式，很明显的是这种经过简化而得到的定价结果所给人的满意度也将大打折扣。除此之外，陈刚[14]也探讨了CEVP模型，并将其运用于亚式期权的定价问题中，运用二叉树方法求出了其几何平均的近似解，最后用实例验证了该结论的有效性和实用性。

然而，在现实的金融市场中，期权定价模型的假设条件要求还是比较苛刻的，例如，股价过程的随机波动率、随机利率、税收和卖空限制等等，这都使得理论上的结果离现实还是有着比较大的差距。因此，在这些方面还有待于进一步的深入研究。王洋[15]在考虑了带有交易成本的情况下，又考虑了存有波动率、分红、无风险利率的现实状况，推出了欧式期权的B-S定价方程，再利用偏微分方程的知识得出了欧式看涨期权和看跌期权的定价公式，并进一步得到了它们的平价公式。结果表明放松标准B-S定价的假设条件，也可以得到类似的结论，并给出了相应的推导过程。经典的期权定价公式假设股票价格遵从几何布朗运动，在此基础上，邓浏睿[16]探讨了标的资产价格服从几何分数次布朗运动下的情况，以及在无风险利率和红利率分别为常数和时间的非随机函数的条件下讨论了有交易成本的上限型买权的定价问题。

关于带交易费用的亚式期权的研究，现有的文献也有很多，如曲军恒[17]以Black-Scholes模型为基础，将交易费用引入到亚式期权的定价中，运用证券组合技术与无套利原理，推出了带交易费用的非线性期权定价模型。之后在一定的条件下将非线性的期权定价模型化为Cauchy问题进行求解，得出了具体的带交易费用的亚式期权定价公式。这是一个有益的尝试，对亚式期权定价理论的发展起到重要的推动作用。作类似研究的还有刘倩[18]、郑小迎[19]、吴传生[20]、王建[21]等学者，其中利用GARCH-扩散期权定价模型可以取得较好的定价性能[21]。

通过这些学者的研究，我们可以得出如下的结论：由于股票交易成本使股票市场收益率下降，在市场均衡的条件下，期权市场收益率也应下降，因而期权买方愿意以较高价格买入，期权卖方愿意以较低价格卖出，这些结论在期权市场是十分有益的，可以给投资者一个较好的投资参考。

此外，对于奇异期权的定价研究：陈刚[22]研究了奇异期权―彩虹期权的定价模型，在前人的研究基础上加入了交易费用，并且用二叉树方法求解出了彩虹期权价格，使得结果更有说服力。然而假设条件中的允许卖空和无套利机会，这在现实中不易实现。

现实中期权市场除了存在交易费用外，还有其他的一些现实条件，比如税收、交易时间的间断性、不允许卖空等，怎样在B-S定价公式的基础上，引入更多的现实因素从而放松假设条件，将是未来研究的重点。

1.2 存有违约风险的期权定价问题

在早期的研究中，主要是假定期权交易过程中没有违约风险。然而事实上，作为一种既可以在场外交易也可以在场内交易的金融衍生产品（场外交易产品的比例越来越大），必定会存在违约风险。关于这方面的研究在近几年也逐渐成为热点领域。

在B-S定价模型不考虑违约因素的基础上，Peter Klein[23]推导了带违约风险的B-S定价模型，并将违约风险作为一个内生因素引入到模型中。通过实例发现：这不仅提高了B-S公式的定价性能，而且模型较易求解，然而还有值得继续研究改进和校准的必要。更进一步的研究有Szu-Lang Liao和Hsing-Hua Huang[24]则在加入违约风险的基础上，再加入了利率变动的风险因素，并用结构模型方法来衡量期权的价值，在随机利率的条件下，将风险中性定价方法和随时间变化的布朗运动技术结合起来来推导期权价格。结果显示违约风险会显著影响期权的价值，且期权价值较不考虑风险因素的价值要小。

对于其他风险类型的研究，也有很多值得借鉴的地方，比如Joost Driessen和Pascal J. Maenhout[25]研究了相关性风险下的期权定价问题，并用标普100指数的数据来验证了模型的有效性，发现这不仅会影响投资者的收益，也会使得套利和对冲策略的效果变得不太理想。与研究单时期跨度的违约风险不同的是，Don Rich[26]研究了跨时期的违约风险对B-S期权定价公式的影响，在应用该模型的时候，投资者对期权互换交易的收益需求会超出期权收益的市场价值。

国内方面，苏小囡[27]在研究中假设市场中的风险资产满足几何布朗运动，市场利率服从Vasicek模型，期权卖方的违约强度为跳扩散模型，且这三个过程都是相关的，并将违约风险考虑进约化模型中，进而构造出新的期权定价公式。研究中略显不足的是，作者假设市场中仅有两种风险资产并且都服从跳扩散模型，这显然跟现实状况是有出路的。

金融市场中存在四大风险：市场风险、信用风险、流动性风险和操作风险，其中信用风险会显著影响其他风险的产生与否。期权市场中存在很多不确定性的因素，信用风险是难以避免的。纵观现有的研究，大部分只是在单独注重期权违约风险的情况下推导定价公式，显然这是不完全的，在存在违约风险的情况下将交易费用考虑进定价模型中去将是以后研究的方向。

1.3 信息不完全下的期权定价问题

在经典的期权定价模型中，我们一直都假设市场是有效的、信息是完全的，也就是说投资者完全知道市场中的标的资产价格以及模型的参数。然而在现实市场中，由于各种原因，信息不是完全公开的。因此市场是信息不完全的，人们所看到的资产价格没有真实完全的反映市场上的信息，在这样的市场条件下怎样更好的确定期权的价格就成为了近期学者们的研究关注点。

与信息完全环境假设相反的是，Jiang Wang[28]在考虑不对称信息环境的条件下，推导出了一个动态的资产定价模型，投资者对于利率的预期有不一样的看法，但都是理性的经济人以及追求效用最大化。分析结果显示：在信息不完全的情况下，这会导致投资者的投资受损，并且供求的波动将会影响这种受损程度，也会导致资产价格变化波动较大，影响投资者的收益率，这是一个有益的尝试。

在不完全信息的研究基础上，Takashi Shibata[29]考虑了不确定性因素对期权定价模型的影响。进一步指出：对收益的不确定性会对期权产生影响，并通过实例分析得出：这种影响程度是显著的。然而，不确定性有三个维度：收益不确定、信息不确定、估计不确定性，作者只是考虑了对收益的不确定性，这是不完整的，还有值得深入研究及整合的必要。除此之外，对于这样的期权定价模型，比较复杂，难以找到一个较好的方法进行求解，这也是一个可以研究的内容。

国内方面，主要是在风险中性的假设下推导期权定价的公式。如刘广应[30]将不完全信息引入到期权定价模型中，并采用风险中性估值原理来对期权进行定价，构造出投资者不完全信息集，之后利用马尔可夫方法、条件期望方法、Fubini定理等结论，给出了在不完全信息集下的欧式期权定价公式，作类似研究还有熊玉英[31]。

在此基础上我们可以得出一些重要结论：假如其他条件不变，不完全信息市场下的期权价格比完全信息市场下的期权价格要低；由于不完全信息条件更加符合现实状况，因此求出的结果也就更为合理一些。然而，信息不完全分为资产信息不完全和利率信息不完全，可以想象的是，如果同时考虑两者信息都不完全时的情况，那么期权定价模型将会更加复杂，当然这就也有值得进一步深入研究的价值。

由于信息不完全，那么交易双方产生违约的可能性就会大大的增加，所以怎样在投资者不完全知道公司的价值信息时，加入可能违约的情况，得到不完全信息下标准信用违约互换的定价模型，将是未来可能研究的方向。

2 总结

由于标的资产价格的易变性，因此调整组合证券头寸而进行连续交易保值的成本较为昂贵。此外，作为一种既可以在场外交易也可以在场内交易的金融衍生产品，必定会存在违约风险。鉴于各种因素的作用，难以做到信息完全公开，人们所看到的资产价格没有真实完全的反映市场上的信息。考虑到以上的现实条件，致使纵多学者研究不完全市场条件下的期权市场如何使得期权的价格更加合理，以满足投资者管理风险资产的要求。文章主要分析了不完全市场条件下的期权定价研究现状，其中不完全市场分为带交易费用的期权市场、存有违约风险的市场和信息不完全的市场。

有关期权定价方法的研究在不断的探讨和发展中，从理论上讲期权发展是无止境的，从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的，因此研究探讨期权定价方法的共性和个性，对于深入研究复杂市场条件下的期权的定价有重要意义。对于完全市场条件下的期权定价研究已经日趋成熟，并形成了较为完整的定价系统。然而放松完全市场的部分假设条件，探讨在不完全市场下的期权定价问题：主要是进一步放松B-S定价模型的假设条件，引入更多的现实因素，深入研究不同市场状况下的期权定价问题，显然更具挑战性和现实价值。关于这方面的研究，还没有形成一个较为完整的理论体系，这值得我们深入研究和探讨。

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