量纲法则在简谐振动中的简单应用

摘要：量纲法则是物理学研究中的重要方法之一。在研究谐振动的问题中，振幅、角频率和相位三个特征量首先出现在微分方程的通解——谐振动的表达式中，没有直观的物理意义。本文提出首先用简单的量纲法则确定三个特征量的量纲，再研究其物理意义的学习方法。

关键词：理论力学；量纲分析；量纲法则；简谐振动

中图分类号：G642.0？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）03-0104-02

物理量的量纲（dimension of quantity）是用于表示一个物理量怎样由基本量（包括这些量的幂次）组合的式子，是指该物理量单位的性质或种类，不表示该量的大小。在国际单位制中，确定了7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J和N，称为基本量纲。在此基础上通过各种物理定律可得出其他导出量。基本量纲是代表基本物理概念的量纲，它不涉及其他量就能直接说明某物理量。导出量纲是由基本量纲组成，任何一个导出量Q的量纲dimQ均可用基本量纲的幂次积表示：[Q]=L■M■T■I■■J■N■，其中x1、x2、x3、x4、x5、x6和x7称为量纲指数。量纲是研究物理问题的重要方法之一。利用量纲可以定性地表示出物理量与基本量之间的关系；可以应用它有效地进行单位换算，可以用来检验物理公式、方程的正确与否；特别是可以通过量纲分析法来推测某物理规律，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供定性指导。如理想气体的物态方程由量纲特征确定到可以只差一个常数，波意尔气体族的物态方程族可由量纲特征完全确定。另外，通过单位和量纲，可以加深对物理基本概念、基本规律的理解，有助于对科学素质的培养。量纲法则在简谐振动教学中可以得到充分应用和讨论。在学习相对陌生物理量的过程中，尤其是在数学推导过程中得出的一些未知量，如角频率和相位，但从数学角度很难找出这些未知量的确切物理意义，这种情况下不妨首先分析这些未知量的量纲和单位，确定量纲对理解其物理意义会有积极的引导作用。

一、量纲分析基础

1.量纲分析的齐次定理：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的。①推论：必须是具备相同量纲的物理量，才可以相加减。②推论：量纲为1的数A，其量纲指数均为零。③推论：三角函数、指数函数、对数函数的宗量的量纲必为1。④推论：每个物理量与它的单位具有相同的量纲。

2.量纲分析的理论基础-Π定理：设某物理问題内涉及n个物理量（包括物理常量）P1、P2…，Pn，而我们所选的单位制中有m个基本量（n>m），则由此可以组成n-m个无量纲的量Π1，Π2，…，Πn-m，P1P2…，Pn之间存在的函数关系：f（P1，P2...，Pn）=0。可表达成无量纲的形式：F（Π1，Π2，…， Πn-m）=0。

二、量纲法则在简谐振动中的应用

数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学的研究方法之一。在物理解题中，可以运用数学方法，将物理问题转化为数学问题，将“物理模型”转化成“数学模型”，然后运用数学的方法进行求解或论证，再将数学结论回归到物理问题中进行验证，完成物理问题的求解。首先根据简谐振动的物理模型确定简谐振动质点的微分方程。简谐振动是最简单和最基本的振动，任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成。质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置，对于弹簧振子，所受的力与位移的关系表示为F=-kx式中k为弹簧劲度系数。根据牛顿第二定律，简谐振动质点的微分方程写成m■+kx=0式中ω=■，这是一个二阶常系数微分方程。其通解形式为：x=Acos（ωt+φ0），这是一个简单的数学问题，但是单从微分方程解的角度理解和研究简谐振动能得到的有用信息是很有限的，下面的问题就是如何把微分方程通解中的数学量转换成具有确切物理意义的特征量。首先，式中x表示振子离开平衡位置的距离，所以其量纲应为M，由量纲分析的齐次定理，明确了与之对应的积分常数A的量纲亦为M，单位为m，且余弦函数绝对值不能大于1，所以振子的最大位移为A，称之为振幅。其次是ω的问题，ω是在求解微分方程过程中定义的一个中间量ω=■，是为求解微分方程的方便做的一种纯数学的代换技巧，不能看出其物理意义。因此不妨先分析一下ω的量纲：dimω=（LMT-2）■L■M■=T■，其中dimF=LMT-2得出ω的量纲是T■，量纲为T■的物理量有很多，例如频率、角频率、指数函数e-αt和对数函数ln（βt）中α、β的量纲都是T-1，但是在学生所熟知的物理量里面，量纲为T-1的物理量最先想到的应该是频率这个概念。根据简谐振动的周期性规律：x=Acos[ω（t+T）+φ0]=Acos（ωt+φ0）得出ω=■，通过与频率f=■的简单对比即可得出ω的物理意义，表示在2π秒内完成振动的次数，此时就可以赋予ω一个名字了，叫角频率，这样处理就自然多了。若直接指出ω是角频率，再解释其物理意义，会略显突兀，不利对其物理意义的理解。最后，由简谐运动的运动学方程、速度方程和加速度方程可知，振动物体在任何时刻t的运动状态（指位移、速度和加速度）都由（ωt+φ0）决定，振幅和相位一起体现了振动的完整信息，因此相位在表征振子振动状态的地位与振幅是同等重要的，但是相位的概念比较抽象，不像振幅那样的直观，所以对相位的理解要比振幅困难得多。相位（ωt+φ0）是振动与波动问题中的一个重要概念。相位是决定谐振动运动状态的物理量，形式上（ωt+φ0）是三角函数的宗量，而由量纲分析齐次定理的推论3，三角函数宗量的量纲为1，平面角和雷诺数等等都是纲量为1的量，学生熟悉的只有平面角了，这样为理解两个谐振动中相位的“超前”与“落后”提供了帮助，也为学习振动的合成以及波动问题打下基础。在谐振动的旋转矢量图示法中相位也被直接等效为振幅矢量与坐标轴的夹角，利用旋转矢量图，还可以很容易地表示两个简谐运动的相位差，因此，明确相位量纲为1，对掌握旋转矢量图示法也具有很好的辅助作用，可以帮助理解数学方法和旋转矢量图示法在解决振动问题中的统一性问题。最后需要指出的是，量纲法则为简谐振动的课堂学习提供了很大帮助，但是物理教学的最后还是要回到物理概念上来，ω是圆频率、相位是平面角的本质并不是来自它们的量纲，而是来自简谐振动的运动规律和简谐振动表达式。

首先确定物理量的量纲，在理解某个物理量时就有了方向性，比如角频率和相位的概念是陌生的，但频率和角度的概念却是熟悉的，这样对概念的理解和认知效果必定是深刻的，这种方法在其他物理内容的教学过程中也具有很好的借鉴意义。

参考文献：

[1]赵凯华.定性与半定量物理学[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]程守洙，江之永.普通物理学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

基金项目：此项目受国家自然科学基金资助，项目编号：11274187（基于光学超晶格中单通级联的非线性过程制备多色连续变量纠缠光场的研究），负责人：俞友宾

作者简介：王怀军（1981-），男，浙江宁波人，讲师，博士，研究生讲师，研究方向：光学设计，强激光防护、微纳光学。