依托高等数学课程教学 培养学生创新思维能力

摘要: 思维能力与思维过程有着密切关系。依托高等数学课程教学,强化变量替换的化归功能,揭示思维过程,可培养学生创新思维能力,提高思维水平和解题能力。通过实例说明在教学中的具体实施过程。

Abstract: The power of thought and the thought process have the close relation. Depending on the higher mathematics curriculum teaching, the strengthened variable replace reduction function, revelation thought process, may train the student to innovate the power of thought, raises the thought level and problem solving ability. Through examples explaining concrete implementation process in teaching.

关键词: 高等数学;变量替换;化归;创新;思维能力

Key words: higher mathematics;variable replace;reduction;innovation;thinking ability

中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)17-0212-01

0引言

思维能力与思维过程有着密切关系,即思维能力提高的有效途径之一是通过思维过程来实现。在高等数学教学过程中,注重从数学思想方法的高度揭示思维过程,充分强化变量替换的化归功能,不仅能帮助学生理解、掌握和巩固所学知识,还能启发、培养学生的创造性思维能力,提高思维水平和解题能力。变量替换在高等数学中有广泛应用,它不仅能将复杂的数学形式变得简洁而易于求解,还能将不可直接求解的形式进行形式转换,使问题得以解决的重要方法。下面通过从三个方面对变量替换方法的拓展应用,说明深化化归数学思想方法的教学,培养学生创新思维能力的具体实施过程。

1运用变量替换拓展“变限积分函数求导”的应用,培养学生创新思维能力

变限积分函数在高等数学中有广泛应用,因而在历届考研试题中,含变限积分函数的综合题是比较多的。它的基础知识是[1]:当函数f(x)在[a,b]上连续,变上限定积分f(t)dt是[a,b]上的可导函数,且其导函数是f(x)。利用复合函数的求导法则,可将其推广到一般求导公式f(t)dt=f[?准(x)]?准′(x)-f[φ(x)]φ′(x)。对被积函数含参变量的变限积分有[2]:f(x,t)dt=f(x,t)dt+f[x,d(x)]d′(x)-f[x,c(x)]c′(x),由于非数学专业高等数学课时所限,不讲含参变量积分,可引导学生做变量替换,将有些含参变量积分化归为不含参变量的变限积分,培养学生的创新思维能力。

例1[3] 设函数f(x)连续,且f(0)≠0,求极限。

分析 分子、分母皆为含参变量的变限积分,但分子可利用定积分线性性质拆为不含参变量的积分,而分母需要通过变量替换化归为不含参变量的积分,然后用罗比塔法则确定极限。

解 由于f(x-t)dt -f(u)dt=f(t)dt,于是

原式=====,其中==f(0)。

2运用变量替换拓展可求解微分方程,培养学生勇于探索的精神

高等数学中学习的一阶微分方程可求解基本类型为可分离变量型、齐次、一阶线性、贝努利方程,对不属可求解基本类型的有些特殊方程,可启发学生选择变量替换,看方程能否变成可求解类型。通过大胆猜想、具体尝试、获得结论,从而培养学生勇于探索的创造性思维能力。

例2 解黎卡提方程y′-y=y-。

解将原方程整理得y′=,令u=xy,则=y+x,代入方程有=,当u+2u-3≠0即u≠1且u≠-3时分离变量,积分得=c1x-4,代回原变量得通解y=-。当u=1时得y=;当u=-3时得y=-皆为原方程的解。

3运用变量替换拓展罗比塔法则应用,提高学生解题能力

罗比塔法则虽然是确定不定式极限的有力工具,但也有其局限性,它对某些特殊不定式极限失效。

例3求。

分析该极限看起来是形式简单的“”型,可直接用罗比塔法则会使其形式变得更复杂,做变量替换t=之后用罗比塔法则即可。

解极限是“”型,令t=,则===0。

总之,在教学过程中,要依托高等数学课程教学,重视数学思想方法的学习,充分拓展变量替换转换数学形式的功能,引导学生运用所学知识,积极探求,培养学生的创新思维能力,优化其思维品质。

参考文献:

[1]林益.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]华东师范大学数学系.数学分析(第三版).北京:高等教育出版社,2001.

[3]刘西垣,李永乐,袁荫棠.考研数学历年试题解析(数学三)[M].北京:国家行政学院出版社,2010.